【图像处理与机器视觉】频率域滤波
知识铺垫
复数
C=R+jI 可以看作复平面上的点，则该复数的坐标为（R，I）
欧拉公式
e
j
θ
=
c
o
s
θ
+
j
s
i
n
θ
e^{j\theta} = cos \theta + j sin \theta
ejθ=cosθ+jsinθ
极坐标系中复数可以表示为：
C
=
∣
C
∣
(
c
o
s
θ
+
j
s
i
n
θ
)
C = |C|(cos\theta + j sin \theta)
C=∣C∣(cosθ+jsinθ)
所以，由于欧拉公式可以将复数表示为：
C
=
∣
C
∣
e
j
θ
C=|C|e^{j\theta}
C=∣C∣ejθ
傅立叶级数
傅立叶指出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数之和，每个正弦项和余弦项均乘以不同的系数
同时，根据我们前面掌握的欧拉公式，可以对傅里叶级数的公式进行转换得到：
f
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
c
n
⋅
e
j
2
π
n
T
t
f(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_n\cdot e^{j\frac{2\pi n}{T}t}
f(t)=n=−∞∑∞cn⋅ejT2πnt
傅立叶变换
这里我们不对傅立叶变换的一系列公式推导进行阐述，只对最后我们所使用的离散傅立叶变换进行研究：
对于一个离散序列，我们可以进行傅立叶变换，被称为离散傅立叶变换（DFT）：
F
(
u
)
=
∑
x
=
0
M
−
1
f
(
x
)
e
−
j
2
π
u
x
/
M
F(u)=\sum\limits_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M}
F(u)=x=0∑M−1f(x)e−j2πux/M
则其对应的离散傅立叶反变换为：
F
(
u
)
=
1
M
∑
x
=
0
M
−
1
f
(
x
)
e
j
2
π
u
x
/
M
F(u)=\frac{1}{M}\sum\limits_{x=0}^{M-1}f(x)e^{j2\pi ux/M}
F(u)=M1x=0∑M−1f(x)ej2πux/M
同理，可以有二维的傅立叶变换 和傅立叶反变换：
（1）傅立叶变换满足平移性质
（2）尺度变换
（3）旋转性
（4）周期性：傅立叶变换具有周期性
（5）平均值：
（5）卷积：一个域的卷积是另一个域的乘积
傅立叶变换在图像处理中的实操
请见我另外一篇博客：待补充
频率域滤波
频率域与空间域的对应关系
由我们刚刚知道的平均值，可以知道在空间域中灰度变化缓慢（二阶导小）的频率分量在频率域接近中心的位置；离原点越远，越来越高的频率对应的就是图像中变化较快的灰度（二阶导大），通常对应了图像中的边和细节
因此只允许中间变量通过的滤波器叫做低通滤波器，而允许四周频率通过的滤波器叫做高通滤波器，频率与滤波就是变换一张图的傅立叶变换（通常方式为频率域内乘上不同的滤波器，也即在空间域中进行卷积），再计算其反傅立叶变换得到修改后的空间域的照片
低通滤波器
理想低通滤波器
只通过固定范围内的低频，其他全部不通过
可以对图像进行平滑，但是会存在振铃的现象，原本图像中的边缘出现一圈一圈的虚影，就像水纹一样，主要原因是高频与低频被生硬的切割开了，就如同灰度级较少时生硬的切割会形成伪轮廓一样
布特沃斯低通滤波器
通过缓和的高频和低频的过渡有效去除了振铃现象
高斯低通滤波器
高通滤波器
同理也有理想高通滤波器，布特沃斯高通滤波器和高斯高通滤波器
