人工智能之数学基础:基于初等反射矩阵完成矩阵的QR分解

本文重点

QR分解是矩阵分解中的一种重要方法，它将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。这种分解在求解线性方程组、最小二乘问题、特征值计算等领域有着广泛应用。

QR分解的定义

QR分解就是应用了初等反射矩阵，不断的通过初等反射矩阵，然后将A变成R，Q一定是正交矩阵（矩阵的逆等于矩阵的转置），然后求逆就可以得到A=QR了

当矩阵R中对角元素都是正的时候，那么此时的分解是唯一的

使用初等反射矩阵进行QR分解

如下图所示，我们可以看到存在一个矩阵A，这个矩阵不需要是方阵。

我们将这个矩阵A的每一列看成一个元素，其中一共有n列，所以一共有n个元素(a1,a2,....,an)。

首先使用第一个初等反射矩阵H1对A进行计算，换句话说，分别对(a1a2...an)进行计算。为了一般化，我们这里