组合数学
- 排列组合
- 排列数公式：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数，记作Anm，公式为Anm=(n−m)!n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×(n−m+1)。例如，从5个不同元素中取出3个元素进行排列，A53=(5−3)!5!=2!5!=2×15×4×3×2×1=5×4×3=60种排法。
- 组合数公式：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，记作Cnm，公式为Cnm=m!(n−m)!n!。比如从5个不同元素中取出3个元素的组合数，C53=3!(5−3)!5!=(3×2×1)×(2×1)5×4×3×2×1=10种组合。
- 应用：排列用于元素顺序不同结果不同的情况，如排队问题；组合用于只关注选取元素的组合，不考虑顺序，如从若干人中选几人组成小组。
- 组合数的性质
- Cnk=Cnn−k：表示从n个元素中选k个元素的组合数等于从n个元素中选n−k个元素的组合数。例如C52=2!(5−2)!5!=10，C55−2=C53=10。
- Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1：可以用于简化组合数的计算，也常用于证明一些与组合数有关的等式。比如C42+C43=2!(4−2)!4!+3!(4−3)!4!=6+4=10，C4+13=3!(5−3)!5!=10。
- 容斥原理
- 对于两个集合A和B，它们的并集元素个数∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。例如，一个班级中喜欢数学的有20人（集合A），喜欢语文的有15人（集合B），既喜欢数学又喜欢语文的有5人（A∩B），那么喜欢数学或语文的人数∣A∪B∣=20+15−5=30人。
- 对于多个集合A1,A2,⋯,An，也有类似的推广公式，用于准确计算并集元素个数，避免重复计数。
- 鸽巢原理
- 简单表述：如果有n+1个元素放到n个集合中，那么至少有一个集合里有两个或两个以上的元素。例如，把5个苹果放进4个抽屉，必然有一个抽屉至少放了2个苹果。
- 应用：常用于证明一些存在性问题，比如证明在13个人中至少有两个人的生日在同一个月。
概率与统计
- 概率基础
- 古典概型：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个基本事件出现的可能性相等。其概率计算公式P(A)=nm，其中n是基本事件总数，m是事件A所包含的基本事件数。例如，掷一枚均匀的骰子，出现奇数点的概率，n=6（1,2,3,4,5,6共6种情况），m=3（1,3,5这3种情况），所以P=63=21。
- 几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。例如，在一个边长为1的正方形内随机取一点，该点到正方形某一顶点的距离小于21的概率，可通过计算对应区域面积来求解。
- 概率的基本性质
- 加法公式：若A与B互斥（即A∩B=∅），则P(A∪B)=P(A)+P(B)。例如，掷骰子出现1点或2点的概率，P(1∪2)=P(1)+P(2)=61+61=31。
- 乘法公式：若A与B相互独立（即事件A的发生不影响事件B发生的概率），则P(A∩B)=P(A)×P(B)。比如，连续两次抛硬币，两次都正面朝上的概率，P=21×21=41。
- 条件概率公式：P(B∣A)=P(A)P(A∩B)（P(A)>0），表示在A发生的条件下B发生的概率。例如，已知一个袋子里有3个红球和2个白球，先取出一个红球（事件A）后，再取出一个红球（事件B）的概率，P(B∣A)=42=21。
- 期望与方差
- 期望：设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,⋯,xn，对应的概率分别为p1,p2,⋯,pn，则期望E(X)=∑i=1nxipi。例如，掷一枚骰子，出现的点数的期望E(X)=1×61+2×61+3×61+4×61+5×61+6×61=27。期望反映了随机变量取值的平均水平，在最优策略问题中，可通过计算不同策略的期望来选择最优方案。
- 方差：D(X)=∑i=1n(xi−E(X))2pi，方差衡量的是随机变量取值相对于期望的离散程度。方差越大，说明随机变量的取值越分散。
几何知识
- 平面几何
- 点、线、面的基本概念和性质
- 直线的斜率：过两点(x1,y1)，(x2,y2)的直线斜率k=x2−x1y2−y1（x1=x2）。
- 两点间距离公式：两点(x1,y1)，(x2,y2)之间的距离d=(x2−x1)2+(y2−y1)2。
- 点到直线的距离公式：点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0（A,B不同时为0）的距离d=A2+B2∣Ax0+By0+C∣。
- 三角形的相关知识
- 海伦公式：已知三角形三边a,b,c，半周长p=2a+b+c，则面积S=p(p−a)(p−b)(p−c)。
- 相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等，面积比等于相似比的平方。
- 三角函数在三角形中的应用：如正弦定理sinAa=sinBb=sinCc=2R（R为三角形外接圆半径），余弦定理c2=a2+b2−2abcosC 等。
- 圆的方程、性质
- 圆的标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
- 圆与直线的位置关系：通过比较圆心到直线的距离d与半径r的大小判断，d>r时相离，d=r时相切，d<r时相交。
- 圆与圆的位置关系：通过比较两圆的圆心距d与两圆半径r1,r2的关系判断，如d>r1+r2时两圆外离等。
- 解析几何：通过建立平面直角坐标系，将几何图形上的点用坐标(x,y)表示，然后用方程来描述几何图形的性质和关系。例如，求直线与圆的交点，可联立直线方程和圆的方程求解方程组得到交点坐标，从而解决相关几何问题。
