分治算法之凸包问题

1. 算法思路

基本思想

利用分治策略解决凸包问题主要分为两大步骤：

1. 分解（Divide）：

   • 将所有点按照 x 坐标排序，并将点集分为左右两部分。

   • 递归地对左右两部分分别求解凸包。

2. 合并（Conquer/Merge）：

   • 合并左右两个凸包序列。

   • 利用Graham-scan算法得到新的凸包序列。

理论推导

1. 递归求解：

   • 若点集规模较小（例如 2 或 3 个点），直接用简单方法（如暴力法或旋转卡壳）求解凸包。

   • 否则，将点集分成左右两部分，各自递归求解。设左右部分的凸包分别为 和 ​。

2. 合并过程的理论依据： 利用Graham-scan算法，按照顺序合并为一个新的凸包。

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2. 时间复杂度推导

1. 预排序：
   对所有点按照 x 坐标排序需要 O(nlog⁡n) 。

2. 递归分解与合并：

   • 分解阶段：每次将点集分为两半，递归求解左右凸包。

   • 合并阶段：对于两个凸包的合并，在线性时间内完成，即 O(n) （实际与左右凸包的点数有关，总体不超过 n ）。

   • 由递归关系可得：

     

     根据主定理可知，该递归式的解为 。

3. 总时间复杂度：
   综合排序与递归合并，总体时间复杂度为 O(nlog⁡n) 。

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3. 算法步骤

预处理

1. 排序：
   将所有点按照 x 坐标（若 x 坐标相同则按 y 坐标）排序，得到有序点集。

递归分治过程

1. 递归分解：

   • 如果点集大小小于等于 3，直接计算凸包（例如用暴力法或直接返回有序点的极值构成凸包）；

   • 否则，将点集分为左右两部分，分别递归求解左侧凸包 和右侧凸包 。

合并过程

1. 合并左右两个凸包序列。
2. 利用Graham-scan算法得到新的凸包序列。

结束

1. 返回结果：
   递归回溯过程中，每次合并后的凸包传递上层，最终返回整体点集的凸包。

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总结

• 分治策略： 先排序，再递归分解，再合并局部凸包。

• 理论推导： 归纳了递归求解与合并过程的正确性，并证明合并过程的时间复杂度为 O(n) 。

  • 总时间复杂度： O(nlog⁡n) 

• 关键步骤： 利用Graham-scan算法是合并阶段的核心，通过不断调整候选点保证最终合并的凸包是最优解。