216. 组合总和 III 回溯
目录
问题描述
解决思路
关键点
代码实现
代码解析
1. 初始化结果和路径
2. 深度优先搜索（DFS）
3. 遍历候选数字
4. 递归与回溯
示例分析
复杂度与优化
回溯算法三部曲
1. 路径选择：记录当前路径
2. 递归探索：进入下一层决策
3. 撤销选择：回溯到上一层
代码框架模板
关键点解析
总结
问题描述
我们需要找出所有由 k 个不同数字组成的组合，这些数字的范围是 1 到 9，且它们的和等于 n。组合中的数字不能重复使用，且结果不能包含重复的组合。例如，当 k=3, n=7 时，唯一有效的组合是 [1,2,4]。
解决思路
这个问题可以通过回溯算法解决。核心思想是递归地尝试每一个可能的数字，逐步构建符合条件的组合，并通过剪枝优化减少无效搜索。
关键点
-
数字范围固定：所有数字只能在
1-9中选择。 -
组合唯一性：每个组合中的数字必须严格递增，避免重复（如
[1,2,4]和[2,1,4]被视为同一组合）。 -
剪枝优化：在递归过程中，提前终止不可能满足条件的分支，大幅提高效率。
代码实现
var combinationSum3 = function (k, n) {
const result = [];
const path = [];
const dfs = (start, sum) => {
// 终止条件：路径长度等于k且和等于n
if (path.length === k && sum === n) {
result.push([...path]);
return;
}
// 遍历候选数字
for (let i = start; i <= 9; i++) {
// 剪枝1：剩余数字不够组成k个数
if (path.length + (9 - i + 1) < k) break;
// 剪枝2：当前和超过n
if (sum + i > n) break;
path.push(i);
dfs(i + 1, sum + i); // 递归下一层，起始位置为i+1
path.pop(); // 回溯，撤销选择
}
};
dfs(1, 0); // 从数字1开始，初始和为0
return result;
};代码解析
1. 初始化结果和路径
-
result：存储所有符合条件的组合。 -
path：记录当前递归路径中的数字。
2. 深度优先搜索（DFS）
-
参数：
start表示当前递归的起始数字，sum表示路径中数字的当前和。 -
终止条件：当路径长度等于
k且和等于n时，将当前路径加入结果列表。
3. 遍历候选数字
-
循环范围：从
start到9，确保数字递增，避免重复组合。 -
剪枝1：
path.length + (9 - i + 1) < k
如果当前已选数字数量加上剩余可用数字数量不足k，说明无法组成有效组合，直接终止循环。
例如：k=3，当前已选1个数字，剩余可用数字是8和9（共2个），显然不够选2个。 -
剪枝2：
sum + i > n
如果当前路径和加上i已经超过n，后续更大的数字只会让和更大，无需继续搜索。
4. 递归与回溯
-
选择数字：将
i加入路径，递归调用dfs处理下一个数字。 -
撤销选择：递归返回后，将
i从路径中移除，尝试其他可能的数字。
示例分析
以 k=3, n=7 为例：
-
初始调用：
dfs(1, 0)。 -
第一层循环：
i=1，路径为[1]，和为1。 -
第二层循环：
i=2（起始为2），路径为[1,2]，和为3。 -
第三层循环：
i=4（起始为3），路径为[1,2,4]，和为7，满足条件，加入结果。 -
回溯：递归返回，尝试其他数字，但均无法满足条件，最终结果唯一。
复杂度与优化
-
时间复杂度：最坏情况为
O(9! / (k!(9-k)!))，即组合数的时间。 -
空间复杂度：递归栈深度为
k，空间复杂度为O(k)。
通过剪枝，实际运行时间远低于理论最坏情况，因为无效分支被提前终止。
回溯算法三部曲
回溯算法是解决组合、排列、子集等问题的经典方法。它的核心思想是递归地尝试所有可能的选择，并通过“撤销选择”回到之前的状态，从而穷举所有解。其实现过程可以总结为以下三个关键步骤：
1. 路径选择：记录当前路径
在每一步递归中，将当前的选择加入路径（通常是一个数组），表示“当前正在尝试这个选择”。
对应代码：path.push(i)
作用：保存当前递归层的选择，用于后续判断是否满足条件。
示例：在组合问题中，选择数字 i 加入 path，表示尝试将 i 作为组合的一部分。
2. 递归探索：进入下一层决策
基于当前路径，递归调用函数，处理下一个选择（比如下一个数字或位置）。
对应代码：dfs(i + 1, sum + i)
作用：进入下一层递归，继续尝试剩余的选择。
示例：在组合问题中，递归时从 i+1 开始，确保数字不重复且递增，避免重复组合。
3. 撤销选择：回溯到上一层
当递归返回后（即完成当前分支的探索），将最后加入路径的元素移除，回到上一层状态，尝试其他可能的选择。
对应代码：path.pop()
作用：撤销当前层的选择，保证路径的正确性，避免污染其他分支。
示例：组合问题中，当尝试完以 i 开头的所有组合后，移除 i，尝试下一个数字。
代码框架模板
function backtrack(路径, 选择列表) {
if (满足终止条件) {
将路径加入结果;
return;
}
for (选择 in 选择列表) {
做选择：将选择加入路径;
backtrack(路径, 新的选择列表); // 进入下一层递归
撤销选择：将选择从路径移除; // 回溯
}
}关键点解析
-
路径的维护
path数组记录当前递归路径的选择，必须通过push和pop确保状态正确。 -
递归与回溯的关系
递归是纵向深入探索一条路径，回溯是横向尝试其他可能的选择。递归的终点是终止条件，回溯的触发点是递归返回后的pop。 -
剪枝优化
在组合问题中，通过以下两种剪枝大幅减少递归次数：-
剩余数字不足：
path.length + (9 - i + 1) < k
例如：如果还需要选 2 个数字，但剩余可用数字只有 1 个，直接终止。 -
和超过目标值：
sum + i > n
当前路径和已经超过n，无需继续递归
-
总结
该问题通过回溯算法枚举所有可能的组合，结合剪枝策略（剩余数字不足、和超过目标值）显著提高效率。核心在于：
-
递增选择数字：避免重复组合。
-
剪枝优化：减少不必要的递归调用。
-
回溯机制：撤销选择以尝试其他可能。
这种模式适用于许多组合问题，如子集、排列、组合总和等。