NOIP2017提高组.宝藏

题目

529. 宝藏

算法标签: 状态压缩$dp$, 位运算, 贪心

思路

代价等于$长度\times 当前点的深度$, 求代价的最小值, 直接想法是$f[i][j][k]$表示整个集合状态是$i$, 最后一层状态是$j$, 因为最后一层状态也要取决于上一层状态, 上一层状态是$k$的最小代价, 但是时间复杂度会爆炸, 空间也会爆炸, 需要优化

算状态的时候只能和前一层相连, 只能连向上一层的点, 但是我们考虑是否可以连到前面所有的点, 因为需要连最短边, 因此其实也是连接到$i-1$层的点, 也就不需要连接到上一层的点, 因此我们重新考虑状态表示

$f[i][j]$选择的点的集合是$i$并且树的高度是$j$的所有方案的最小代价, 按照最后一层的状态进行集合的划分, 假设最后一层的状态是$k$, $f[i][j]=min(f[i\oplus k][j-1])+w$

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 12, M = 1 << N, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int d[N][N], f[M][N];
int g[M];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);

	cin >> n >> m;
	memset(d, 0x3f, sizeof d);
	for (int i = 0; i < n; ++i) d[i][i] = 0;

	for (int i = 0; i < m; ++i) {
		int u, v, w;
		cin >> u >> v >> w;
		u--, v--;
		d[u][v] = d[v][u] = min(d[u][v], w);
	}

	// 统计状态i能转移到的状态
	for (int i = 0; i < 1 << n; ++i) {
		for (int j = 0; j < n; ++j) {
			if (i >> j & 1) {
				for (int k = 0; k < n; ++k) {
					if (d[j][k] != INF) g[i] |= 1 << k;
				}
			}
		}
	}

	memset(f, 0x3f, sizeof f);
	for (int i = 0; i < n; ++i) f[1 << i][0] = 0;

	for (int i = 1; i < 1 << n; ++i) {
		for (int j = i - 1 & i; j; j = j - 1 & i) {
			if ((g[j] & i) == i) {
				int pre = i ^ j, cost = 0;

				for (int k = 0; k < n; ++k) {
					if (pre >> k & 1) {
						int val = INF;
						for (int l = 0; l < n; ++l) {
							if (j >> l & 1) val = min(val, d[k][l]);
						}
						cost += val;
					}
				}

				for (int k = 1; k < n; ++k) f[i][k] = min(f[i][k], f[j][k - 1] + k * cost);
			}
		}
	}

	int res = INF;
	for (int i = 0; i < n; ++i) res = min(res, f[(1 << n) - 1][i]);

	cout << res << "\n";
	return 0;
}