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2015年国家队选拔赛试题改编题

news 来源：原创 2025/6/8 5:03:29

设有等腰三角形 $\triangle ABC$ , $A B = A C > BC$ . $D$ 为 $\triangle ABC$ 内一点, 满足 $D A = D B + D C$ . 边 $A B$ 的中垂线交 $\angle ADB$ 的外角平分线于点 $P$ , 边 $A C$ 的中垂线交 $\angle ADC$ 的外角平分线于 $Q$ . 设 $OQ$ , $BC$ 交于一点 $T$ . 求证: (1) $\angle QBC=\frac{\angle ADB}{2}$ , $\angle PCB=\frac{\angle ADC}{2}$ . (2) $TB / TC = B D / C D$ . (2015年国家队选拔赛试题改编题)

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引理. 自两圆 $\odot O_1$ (半径 $r_1$ ), $\odot O_2$ (半径 $r_2$ ) 的内位似中心 $I$ 出发引一条直线, 分别交 $\odot O_1$ 和 $\odot O_2$ 为 $A$ , $B$ 与 $A^{'}$ , $B^{'}$ , 其中 $A$ 和 $A^{'}$ 为内位似对应关系下的对应点, $B$ 和 $B^{'}$ 亦然. 则 $IA \cdot IB' = IA' \cdot IB = \mathrm{pow}(I$ , $\odot O_2) \frac{r_1}{r_2} = \mathrm{pow}(I$ , $\odot O_1) \frac{r_2}{r_1}$ .

引理的证明略.

证明:

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显然, $D P$ 过 $(A D B)$ 的弧 $A D B$ 的中点, 而该点在 $A B$ 的中垂线上, 因此即为 $P$ . 由此可知 $A$ , $B$ , $D$ , $P$ 四点共圆. 同理, $A$ , $C$ , $D$ , $Q$ 四点共圆.

由托勒密定理得 $PA \cdot BD+DP \cdot AB=AD \cdot BP$ .

$A P = BP$ , 所以 $AP \cdot (AD-BD) = AP \cdot CD = DP \cdot AB$ . $\Rightarrow AP/DP=AB/CD=AC/CD$ .

同理, $A Q / Q D = A B / B D = A C / B D$ .

设 $(A PB)$ 与 $(A PC)$ 的内位似中心为点 $X$ . 证明 $CP$ 经过 $X$ :

延长 $XP$ 交 $(A D C)$ 于点 $C^{'}$ .

$P$ 与 $C^{'}$ , $D$ 与 $D$ , $A$ 与 $A$ 互为逆对应点. 根据引理, $XD^2=XA^2 = XP \cdot XC'$ . 由此易知 $A C^{'} / C^{'} D = A P / D P = A C / C D$ . 显然 $C$ 即 $C^{'}$ . 所以 $CP$ 经过 $X$ .

同理, $B D$ 经过 $X$ .

由引理可知, $XQ \cdot XB=XD^2=XP \cdot XC$ . 所以 $P$ , $Q$ , $B$ , $C$ 四点共圆.

由根心定理, $BP$ , $CQ$ , $A D$ 三线共点, 设该点为 $J$ .

$\sin \angle XCB/\sin \angle XBC=BP/CQ=AP/AQ=\frac{AP/AB}{AQ/AC}=\frac{\sin(\angle ADC /2)}{\sin(\angle ADB/2)}$ .

由 $XA^2=XP \cdot XC$ 可知 $\angle XAP=\angle XCA$ , 由 $XA^2=XQ \cdot XB$ 可知 $\angle XAQ =\angle XBA$ . $\angle PAQ=\angle QBA+\angle PCA$ .

$\angle BXC=\angle QBA+\angle PCA+\angle BAC=\angle QBA+\angle PCA+(\angle PAB+\angle QAC-\angle BAC)\\=\angle PAB+\angle QAC=\frac{\pi-\angle ADB}{2}+\frac{\pi-\angle ADC}{2}$ .