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⭐算法OJ⭐俄罗斯套娃信封问题【排序 + LIS】Russian Doll Envelopes

news 来源：原创 2025/6/15 5:03:40

问题描述

LeetCode 354. 俄罗斯套娃信封问题（Russian Doll Envelopes）

给定一个二维整数数组 envelopes，其中 envelopes[i] = [w_i, h_i] 表示第 i 个信封的宽度和高度。当一个信封的宽度和高度都比另一个信封大时，它可以套进去（类似俄罗斯套娃）。求最多能有多少个信封组成“套娃”序列？

示例：

输入：envelopes = [[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]]
输出：3
解释：最多可以套成 [2,3] → [5,4] → [6,7] 这样的序列。

解题思路

这个问题可以转化为二维的最长递增子序列（LIS）问题。我们需要找到一个信封序列，使得每个信封的宽度和高度都严格大于前一个信封的宽度和高度。

关键步骤

排序： 首先对信封进行排序，按照宽度 w 升序排列。如果宽度相同，则按照高度 h 降序排列。
- 这样做的目的是确保在宽度相同时，高度较大的信封排在前面，从而避免同一宽度的信封被错误地计入序列（因为宽度必须严格递增）。
最长递增子序列（LIS）： 在排序后的高度数组上，使用 贪心 + 二分查找 的方法求解最长递增子序列的长度。
- 因为宽度已经满足非递减，只需保证高度严格递增即可。

C++ 代码实现

#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

class Solution {
public:
    int maxEnvelopes(vector<vector<int>>& envelopes) {
        if (envelopes.empty()) return 0;

        // 排序：按宽度升序，宽度相同则按高度降序
        sort(envelopes.begin(), envelopes.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b) {
            return a[0] < b[0] || (a[0] == b[0] && a[1] > b[1]);
        });

        // 对高度数组求 LIS
        vector<int> dp;
        for (const auto& env : envelopes) {
            int h = env[1];
            auto it = lower_bound(dp.begin(), dp.end(), h);
            if (it == dp.end()) {
                dp.push_back(h);
            } else {
                *it = h;
            }
        }
        return dp.size();
    }
};

代码解析

排序部分：
- sort(envelopes.begin(), envelopes.end(), [](...) { ... })
- 使用自定义比较函数，先按宽度 w 升序，宽度相同则按高度 h 降序。
- 例如：[[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]] 排序后为 [[2,3],[5,4],[6,7],[6,4]]。
LIS 部分：
- dp 数组维护当前的最长递增子序列。
- 遍历排序后的高度 h，用 lower_bound 找到第一个不小于 h 的位置：
  - 如果 h 比 dp 中所有元素都大，则直接加入 dp。
  - 否则，用 h 替换 dp 中第一个不小于它的元素（保证 dp 尽可能增长缓慢，以容纳更多元素）。
返回值：
- dp.size() 即为最长递增子序列的长度，也就是最多能套娃的信封数量。