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摘要

模拟退火（SA）算法是一种基于物理退火过程的全局优化算法，其核心思想来源于热力学中的退火过程：将材料加热到高温后再缓慢冷却，使其分子结构趋于最低能量状态，从而获得稳定结构。SA 算法利用 Metropolis 准则来决定接受新的解，以一定概率接受劣解，从而避免陷入局部最优。SA 具有收敛速度快、计算复杂度低、适用于连续优化问题等特点，被广泛应用于组合优化、函数优化、神经网络训练等领域。

算法介绍

1. 主要思想

SA 算法模拟物理退火过程，将目标函数视为能量状态，以一定概率接受更差的解，防止陷入局部最优。

算法的核心机制如下：

1. 温度控制：随着迭代次数增加，温度逐步降低，降低搜索的随机性。
2. 邻域搜索：每次迭代基于当前解生成新解（小范围扰动）。
3. Metropolis 准则：
   • 若新解优于当前解，则无条件接受。
   • 若新解劣于当前解，则以概率 P=e−ΔfTP = e^{-\frac{\Delta f}{T}}P=e−TΔf​ 决定是否接受，TTT 为当前温度，Δf\Delta fΔf 为目标函数值的变化量。

该概率随温度降低而降低，意味着算法在早期具有较强的探索能力，而在后期趋向收敛。

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详细代码

以下是 模拟退火优化算法（SA） 的 MATLAB 实现：

%% 模拟退火优化算法（Simulated Annealing, SA）
% 输入：
%   Mmax - 最大退火次数（降温步数）
%   l - 搜索空间下界
%   u - 搜索空间上界
%   dim - 变量维度
%   fobj - 目标优化函数
% 输出：
%   Best_score - 最优适应度值（最小化目标）
%   Best_pos - 最优解
%   curve - 收敛曲线（记录最优值的变化）function [Best_score, Best_pos, curve] = SA(Mmax, l, u, dim, fobj)% 设置容忍度（用于 Metropolis 准则）TolFun = 1e-10;  % 生成初始解，在搜索空间内随机取值x0 = (u - l) .* rand(1, dim) + l;% 计算初始解的适应度值f = fobj;x = x0;fx = feval(f, x); % 计算当前解的适应度f0 = fx;          % 记录当前最优值count = 1;        % 记录收敛曲线索引% 退火过程for m = 1:MmaxT = m / Mmax; % 计算当前温度（温度随迭代次数降低）mu = 10^(T * 1000); % 退火步长参数% 每个温度下执行 100 次局部搜索for k = 0:100% 生成扰动（新解相对当前解的偏移量）dx = mu_inv(2 * rand(1, dim) - 1, mu) .* (u - l);x1 = x + dx; % 生成新解% 处理边界（防止超出搜索范围）x1 = max(min(x1, u), l);% 计算新解的适应度值fx1 = feval(f, x1);df = fx1 - fx; % 计算适应度变化量% 按 Metropolis 准则决定是否接受新解if (df < 0 || rand < exp(-T * df / (abs(fx) + eps) / TolFun))x = x1; % 接受新解fx = fx1;end% 更新全局最优解if fx1 < f0x0 = x1;f0 = fx1;endend% 记录当前最优值到收敛曲线curve(count) = f0;count = count + 1;end% 输出最终最优解Best_pos = x0;Best_score = f0;
end%% 计算模拟退火产生的新位置偏移量
function x = mu_inv(y, mu)% 计算扰动值x = (((1 + mu) .^ abs(y) - 1) / mu) .* sign(y);
end

代码解读

1. 初始化

   • 设定搜索空间 l 和 u，确保解在合理范围内。
   • 生成初始解 x0，并计算其适应度 fx。
   • 设定最大迭代次数 Mmax 和温度退火步长 mu。

2. 模拟退火循环

   • 温度控制：温度随迭代次数下降，T = m / Mmax。
   • 局部搜索：在当前解 x 附近随机采样 100 个新解 x1。
   • Metropolis 准则：
     • 若新解 x1 更优，则直接接受。
     • 若 x1 更差，则以概率 P = exp(-T * Δf / |f0|) 决定是否接受，避免局部最优。
   • 全局最优更新：如果 x1 比当前 f0 更优，则更新全局最优。

3. 终止条件

   • 退火次数达到 Mmax 。
   • 记录收敛曲线 curve，用于绘制优化过程。

总结

• SA 是基于概率的全局优化算法，能有效避免局部最优。
• 利用 Metropolis 准则，可接受劣解，增强全局搜索能力。
• 温度控制机制保证算法在早期探索，后期收敛。
• 适用于函数优化、旅行商问题（TSP）、神经网络权重优化等。

优点：

• 搜索范围大，易于跳出局部最优
• 适用于复杂问题
• 实现简单，参数易调整

缺点：

• 收敛速度较慢
• 过早降温可能影响搜索效果