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计算机系统运行时，各个部件之间要进行数据交换换，为了确保数据在传送过程中正确无误，一是提高硬件电路的可靠性；二是提高代码的校验能力，包括查错和纠错。
常用的三种校验码：奇偶校验码(Parity Codes)、海明码(HammingCode)和循环冗余校验(Cyclic RedundancyCheck，CRC)码。

奇偶校验码

• 基本原理：奇偶校验码是一种简单的错误检测码，通过在数据后面增加一个校验位，使得整个数据中1的个数为奇数或偶数。
• 奇校验码：整个校验码中1的个数为奇数。
• 偶校验码：整个校验码中1的个数为偶数。
• 特点：只能检测出奇数位的错误，无法检测出偶数位的错误，且无法确定错误的具体位置。

海明码

• 基本原理：海明码是一种可以纠正一位差错的编码，通过在数据中插入多个校验位，并将每个数据位分配到多个奇偶校验组中，从而实现错误的检测和纠正。
• 编码规则：
  • 根据信息位数$n$，确定校验位数$k$，满足关系式$$2^k-1\ge k+n$$
  • 将校验位放置在海明码的2的幂次位置上，其余位置放置信息位。
  • 每个校验位负责不同的数据位组合的奇偶校验。
• 特点：可以检测出双比特错误，并纠正单比特错误。

循环冗余校验码（CRC）

• 基本原理：循环冗余校验码是一种基于多项式除法的检错码，将数据视为一个多项式，用该多项式去除以一个预先确定的生成多项式，得到的余数作为校验码。
• 编码规则：
  • 将要传送的信息 $M(X)$ 表示为一个多项式。
  • 用 $M(X)$ 乘以 $x^r$（$r$为校验位数），得到一个多项式。
  • 将该多项式除以生成多项式 $G(X)$，得到余式 $R(X)$。
  • 将余式$R(X)$作为校验码附加在原信息后面，形成最终的传输数据。
• 特点：具有较强的检错能力，能够检测出所有奇数位错、双比特错以及小于等于校验位长度的突发错。

总结

• 奇偶校验码：简单易实现，但检错能力有限，只能检测出奇数位错误。
• 海明码：不仅能检错，还能纠正单比特错误，但编码复杂度较高。
• 循环冗余校验码：检错能力强，适用于数据传输等领域，但需要进行多项式运算。