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概述

原文写于去年9月。一篇测试性的文章。

基于初始位置和初始速度的抛物线

# 抛物运动轨迹曲线 - 基于初始位置和初始速度计算
func projectile_motion_curve(start_pos:Vector2,            # 物体的起始位置velocity:Vector2,             # 初始速度nums:int,                     # 取点的个数delta:=1.0,                   # 时间间隔，越小曲线越平滑g = 9.8                       # 重力加速度
) -> PackedVector2Array:var points:PackedVector2Arrayvar vx0 = Vector2.RIGHT * velocity.x # x轴方向的初始速度var vy0 = Vector2.DOWN * velocity.y  # y轴方向的初始速度var pos = start_posvar v = velocity# 计算轨迹点for t in range(nums):var v1 = vx0 * t * deltavar v2 = vy0 * t * delta +  Vector2.DOWN * (0.5 * g * pow(t * delta,2))v = v1 + v2pos = start_pos + vpoints.append(pos)return points

测试

# 抛物运动曲线测试
extends Node2D## 曲线和点颜色
@export var color:=Color.AQUAvar force = 50.0                   # 力的大小
var start_pos := Vector2(100,100)  # 物体起始位置
var velocity = Vector2()           # 初始的速度
var nums:int = 20                  # 取点的个数
var delta:=1.0                     # 时间间隔，越小曲线越平滑
var g = 9.8                        # 重力加速度func _process(delta: float) -> void:velocity = start_pos.direction_to(get_global_mouse_position()) * forcequeue_redraw()func _draw() -> void:var curve = projectile_motion_curve(start_pos,velocity,nums,delta,g)draw_polyline(curve,color,1)for p in curve:draw_circle(p,3,color)pass

• 曲线点的个数由nums参数控制
• 单位时间间隔由delta参数控制，越小，点之间的距离越小，绘制曲线后越平滑

基于指定两点的抛物线

也就是知道抛出点和目标点的抛物线。

# 抛物线轨迹 - 基于初始位置和目标位置
func projectile_motion_curve2(start_pos:Vector2,            # 物体的起始位置target_pos:Vector2,           # 目标位置delta:=1.0,                   # 时间间隔，越小曲线越平滑g = 9.8                       # 重力加速度
) -> PackedVector2Array:var points:PackedVector2Arrayvar d = target_pos - start_pos # 位移向量var t2:float = sqrt((2 * d.y) / g)#print(t)var velocity = Vector2.UP * 0 + Vector2.RIGHT * (d.x / t2)var vx0 = Vector2.RIGHT * velocity.x # x轴方向的初始速度var vy0 = Vector2.DOWN * velocity.y  # y轴方向的初始速度var pos = start_posvar v = velocity# 计算轨迹点for t in range(t2/delta):var v1 = vx0 * t * deltavar v2 = vy0 * t * delta +  Vector2.DOWN * (0.5 * g * pow(t * delta,2))v = v2 + v1pos = start_pos + vpoints.append(pos)if points.size() >0:if target_pos.distance_to(points[points.size()-1]) > 0.0:points.append(target_pos)return points

测试

# 抛物运动曲线测试
extends Node2D## 曲线和点颜色
@export var color:=Color.AQUAvar force = 50.0                   # 力的大小
var start_pos := Vector2(100,100)  # 物体起始位置
var target_pos:Vector2             # 目标位置
var delta:=1.0                     # 时间间隔，越小曲线越平滑
var g = 9.8                        # 重力加速度func _process(delta: float) -> void:target_pos = get_global_mouse_position()queue_redraw()func _draw() -> void:var curve = projectile_motion_curve2(start_pos,target_pos,delta,g)draw_polyline(curve,color,1)for p in curve:draw_circle(p,3,color)pass

改进，加入一定的抬高

其中:$$t=\sqrt{\frac{2(2k+dy)}{g}}$$那么最高点的速度:$$|v_k|=\frac{d_x}{t}$$

又因为：$$t_k=\sqrt{\frac{2k}{g}}$$所以$$|v_{ky}|=g\cdot t_k$$

所以初始速度:$$v_0=v_{ky}+v_k$$

当目标点的纵坐标在起始点的上方时：

其中:$$t=\sqrt{\frac{2(2k+dy)}{g}}$$最高点的速度$$|v_k|=\frac{d_x}{t}$$还是保持不变。

但是：$$|v_{ky}|=g\cdot t_{(k+dy)}$$而$$t_{(k+dy)}=\sqrt{\frac{2(k+dy)}{g}}$$

# 抛物线轨迹 - 基于初始位置和目标位置 加入一定的抬高距离k
func projectile_motion_curve3(start_pos:Vector2,            # 物体的起始位置target_pos:Vector2,           # 目标位置k:=50.0,                      # 抬高距离delta:=1.0,                   # 时间间隔，越小曲线越平滑g = 9.8                       # 重力加速度
) -> PackedVector2Array:var points:PackedVector2Arrayvar d = target_pos - start_pos # 位移向量# 到目标位置的总时长var t2:float# 走距离k的时间var t1:float# 走距离k的时间var t3:floatvar vx0   # x轴方向的初始速度var vy0   # y轴方向的初始速度if target_pos.y < start_pos.y:t2 = sqrt(2.0 * (2.0 * k + abs(d.y)) / float(g))t3 = sqrt(2.0 * (k + abs(d.y)) / float(g))vy0 = Vector2.UP * (g * t3)else:t2 = sqrt(2.0 * (2.0 * k + d.y) / float(g))t1 = sqrt((2.0 * k)/ float(g))vy0 = Vector2.UP * (g * t1)vx0 = Vector2.RIGHT * (d.x/float(t2))# 初速度var velocity = vx0 + vy0var pos = start_posvar v = velocity# 计算轨迹点for t in range(t2/delta):var v1 = vx0 * t * deltavar v2 = vy0 * t * delta +  Vector2.DOWN * (0.5 * g * pow(t * delta,2))v = v2 + v1pos = start_pos + vpoints.append(pos)if points.size() >0:if target_pos.distance_to(points[points.size()-1]) > 0.0:points.append(target_pos)return points

测试：

可以看到，鼠标位置在起始点上方时，也可以显示曲线，但是不是太精确。