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wzjs 2025/9/21 15:18:46

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第二章: 机器学习与神经网络概述

第三部分：类算法理论与实践

第一节：逻辑回归（Logistic Regression）

内容：Sigmoid函数、损失函数、梯度下降优化。

一、逻辑回归简介

逻辑回归是一种用于二分类任务的统计学习方法。尽管名字中带有“回归”，但逻辑回归本质是分类算法，其输出是一个概率值，通过设定阈值来判定类别。

二、模型表达形式

逻辑回归模型如下：

$\hat{y} = \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \quad$ 其中 $\ z = w^T x + b$

$\hat{y}$ ：预测结果，表示属于“正类”的概率
x：输入特征向量
w：权重参数
b：偏置项
$\sigma(\cdot)$ ：Sigmoid 激活函数

三、Sigmoid 函数

Sigmoid 函数将任意实数映射到 (0,1) 区间，公式如下：

$\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$

性质：

当 z→+∞，σ(z)→1
当 z→−∞，σ(z)→0
σ(0)=0.5

它保证输出可以解释为“概率”。

上图展示了 Sigmoid 函数 $\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$ 的曲线形状：

当 z→+∞z 时，函数值趋近于 1；
当 z→−∞z 时，函数值趋近于 0；
在 z = 0 处，函数值为 0.5，曲线最陡。

四、损失函数（对数似然损失）

逻辑回归使用的损失函数是对数损失函数（Log Loss），其目标是最大化似然函数，等价于最小化负对数似然：

$\mathcal{L}(y, \hat{y}) = -[y \log(\hat{y}) + (1 - y) \log(1 - \hat{y})]$

在整体样本上取平均作为总损失：

$J(w, b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathcal{L}(y_i, \hat{y}_i)$

上图展示了对数损失函数（Log Loss）随预测概率的变化曲线：

红线：真实标签 y = 1，预测越接近 1，损失越低；
蓝线：真实标签 y = 0，预测越接近 0，损失越低；
当预测概率极端错误（如接近 1 但实际为 0），损失会迅速升高。

这是逻辑回归训练中优化目标的重要基础之一。

五、参数优化：梯度下降（Gradient Descent）

为最小化损失函数，使用梯度下降算法不断更新参数：

权重更新：

$w := w - \alpha \cdot \frac{\partial J}{\partial w}$

偏置更新：

$b := b - \alpha \cdot \frac{\partial J}{\partial b}$

其中 α 是学习率。

常见优化策略：

Batch Gradient Descent（全量）
Stochastic Gradient Descent（SGD，单样本）
Mini-batch Gradient Descent（小批量）

六、Python 示例（使用 sklearn）

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.datasets import make_classification
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 创建数据
X, y = make_classification(n_samples=200, n_features=2, n_redundant=0, random_state=1)# 拟合逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X, y)# 绘制决策边界
x_min, x_max = X[:,0].min(), X[:,0].max()
y_min, y_max = X[:,1].min(), X[:,1].max()
xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, 300),np.linspace(y_min, y_max, 300))
Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.3)
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y, edgecolor='k')
plt.title("逻辑回归分类边界")
plt.xlabel("Feature 1")
plt.ylabel("Feature 2")
plt.grid(True)
plt.show()