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62. 不同路径
一、算法逻辑（逐步思路）
❓ 题目描述：
机器人位于一个 m × n 的网格左上角 (0, 0)，只能向右或向下移动，每次一步。问到达右下角 (m-1, n-1) 有多少条不同路径？
✅ 解题思路（DFS + 记忆化）
1. 状态定义：
dfs(i, j) 表示从 (0, 0) 到达 (i, j) 的路径数2. 状态转移方程：
- 机器人只能从 上方 (i-1, j) 或 左边 (i, j-1) 走到
(i, j)，所以：
dfs(i, j) = dfs(i-1, j) + dfs(i, j-1)3. 终止条件：
- 如果某个坐标在第一行或第一列（
i==0或j==0），说明只能沿一个方向走，所以路径数为 1； - 如果走到负数坐标（越界），返回 0（安全边界检查，但实际上不会触发）；
4. 初始调用：
- 我们要求的是从
(0, 0)到(m-1, n-1)的路径数，所以调用dfs(m-1, n-1)。
5. 使用 @cache 做记忆化优化，避免重复子问题导致的指数级递归。
二、算法核心点
✅ 核心思想：二维递归建模 + 缓存子问题（记忆化）
- 本质上是一个二维 DP 问题，用 DFS 来实现自顶向下的解法；
- 每个位置的路径数 = 左边格子路径数 + 上边格子路径数；
- 使用
@cache缓存递归结果，避免重复计算，极大提升性能。
class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:@cachedef dfs(i:int, j:int) -> int:if i == 0 or j == 0:return 1if i<0 or j<0:return 0return dfs(i-1, j)+dfs(i, j-1)return dfs(m-1, n-1)三、复杂度分析
- 时间复杂度：O(m × n)
-
- 每个状态
(i, j)只计算一次，最多 m×n 种状态。
- 每个状态
- 空间复杂度：O(m × n)
-
- 记忆化缓存占用空间；
- 递归栈最大深度为
m + n
总结表：
| 维度 | 内容 |
| ✅ 思路逻辑 | 每个格子只能从上或左来，递归地组合路径数 |
| ✅ 核心技巧 | DFS 建模 + 记忆化；基础的二维路径 DP 问题 |
| ✅ 时间复杂度 | O(m × n)，每个状态只算一次 |
| ✅ 空间复杂度 | O(m × n)，缓存 + 递归栈深度 |
✅ 拓展建议
- ✅ 更快的迭代写法（自底向上 DP 表），也可将空间优化为 O(n)；
- ✅ 组合数学解法：路径总数为组合数
C(m + n - 2, m - 1)，最快速.