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🧩 最长回文子串问题：三种经典解法全解析（含代码注释）

本文将系统讲解“最长回文子串”问题的三种常见解法：中心扩展法、动态规划、马拉车算法（Manacher’s Algorithm），并进行对比与总结。

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📌 问题描述

给定一个字符串 s，返回其中 最长的回文子串。

示例：

• 输入："babad"
• 输出："bab" 或 "aba"

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✅ 解法一：中心扩展法（Expand Around Center）

🧠 思路

• 回文的本质是“对称”
• 遍历每个字符，尝试以它为中心向两边扩展，总共需要考虑 2n - 1 个中心（包括字符与字符之间的间隙）。
• 需要对奇数长度（如 "aba"）和偶数长度（如 "abba"）分别处理

⏱ 复杂度

• 时间复杂度：O(n²)
• 空间复杂度：O(1)

🧑‍💻 Swift 实现（含注释）

func longestPalindromeCenter(_ s: String) -> String {if s.isEmpty { return "" }let chars = Array(s)var start = 0, end = 0for i in 0..<chars.count {let len1 = expand(chars, left: i, right: i) // 奇数长度let len2 = expand(chars, left: i, right: i + 1) // 偶数长度let len = max(len1, len2)if len > end - start {start = i - (len - 1) / 2end = i + len / 2}}return String(chars[start...end])
}func expand(_ chars: [Character], left: Int, right: Int) -> Int {var L = left, R = rightwhile L >= 0 && R < chars.count && chars[L] == chars[R] {L -= 1R += 1}return R - L - 1 // 实际回文长度
}

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✅ 解法二：动态规划（Dynamic Programming）

🧠 思路

• 定义 dp[i][j] 表示 s[i...j] 是否为回文串。
• 转移方程：
  • dp[i][j] = true if s[i] == s[j] && dp[i+1][j-1]

⏱ 复杂度

• 时间复杂度：O(n²)
• 空间复杂度：O(n²)

🧑‍💻 Swift 实现（含注释）

func longestPalindromeDP(_ s: String) -> String {let chars = Array(s)let n = chars.countif n < 2 { return s }var dp = Array(repeating: Array(repeating: false, count: n), count: n)var maxLen = 1var start = 0for i in 0..<n {dp[i][i] = true}for length in 2...n {for i in 0...(n - length) {let j = i + length - 1if chars[i] == chars[j] {if length == 2 {dp[i][j] = true} else {dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]}if dp[i][j] && length > maxLen {maxLen = lengthstart = i}}}}return String(chars[start..<start + maxLen])
}

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✅ 解法三：马拉车算法（Manacher’s Algorithm）

🧠 思路

• 首先对字符串预处理，使得所有回文都是奇数长度（例如："abba" → "#a#b#b#a#"）
• 使用数组 p[i] 记录以第 i 个字符为中心的最大回文“半径”
• 利用已知的对称中心和边界进行跳跃扩展，从而实现线性时间复杂度

⏱ 复杂度

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

🧑‍💻 Swift 实现（含注释）

func longestPalindromeManacher(_ s: String) -> String {// Step 1: 预处理字符串，在每个字符中间加入 #let t = Array("#" + s.map { "\($0)#" }.joined())let n = t.countvar p = Array(repeating: 0, count: n)var center = 0, right = 0var maxLen = 0, maxCenter = 0for i in 0..<n {let mirror = 2 * center - i // i 关于 center 的对称点// Step 2: 利用镜像对称性快速扩展if i < right {p[i] = min(right - i, p[mirror])}// Step 3: 尝试向左右扩展var a = i + p[i] + 1var b = i - p[i] - 1while a < n && b >= 0 && t[a] == t[b] {p[i] += 1a += 1b -= 1}// Step 4: 更新 center 和 rightif i + p[i] > right {center = iright = i + p[i]}// Step 5: 更新最大值if p[i] > maxLen {maxLen = p[i]maxCenter = i}}// Step 6: 从原始字符串中提取结果let start = (maxCenter - maxLen) / 2let end = start + maxLenreturn String(s[s.index(s.startIndex, offsetBy: start)..<s.index(s.startIndex, offsetBy: end)])
}

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🧪 示例输出

print(longestPalindromeCenter("babad"))   // 输出: "bab" 或 "aba"
print(longestPalindromeManacher("cbbd"))  // 输出: "bb"
print(longestPalindromeDP("babad"))  // "bab" 或 "aba"

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📊 三种方法对比总结

算法	时间复杂度	空间复杂度	实现难度	适用场景
中心扩展法	O(n²)	O(1)	⭐⭐ 易	面试首选，简洁实用
动态规划	O(n²)	O(n²)	⭐⭐⭐ 中等	适用于变种题型
马拉车算法	O(n)	O(n)	⭐⭐⭐⭐ 高	性能关键、竞赛场景

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✅ 最佳实践推荐

需求	推荐方法
面试、日常开发、可读性	✅ 中心扩展法
遇到类似子串变种问题	✅ 动态规划
超大数据量、刷算法题、竞赛	✅ 马拉车算法

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