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我们可以总结出二分查找的通用做法和常见变种。二分查找是一种在有序数组中高效查找元素的算法，时间复杂度为 O (log n)。

二分查找的通用模板

二分查找的核心思想是将搜索范围不断缩小一半，直到找到目标元素或确定其不存在。以下是通用模板：

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int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;  // 防止整数溢出if (nums[mid] == target) {return mid;  // 找到目标} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;  // 目标在右半部分} else {right = mid - 1;  // 目标在左半部分}}return -1;  // 未找到目标
}

常见变种及处理技巧

1. 查找插入位置（第一个大于等于目标的位置）

• 特点：返回第一个大于等于target的索引，若所有元素都小于target，则返回数组长度。
• 关键：循环结束时，left指向第一个大于等于target的位置。

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int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else {right = mid - 1;}}return left;  // 最终left即为插入位置
}

2. 二维矩阵查找

• 特点：将二维矩阵展开为一维有序数组。
• 关键：计算一维索引对应的二维坐标。

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bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();int left = 0, right = m * n - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;int row = mid / n, col = mid % n;  // 转换为二维坐标if (matrix[row][col] == target) {return true;} else if (matrix[row][col] < target) {left = mid + 1;} else {right = mid - 1;}}return false;
}

3. 查找元素的第一个和最后一个位置

• 特点：需要两次二分查找，分别找到左边界和右边界。
• 关键：
  • 左边界：第一个大于等于target的位置。
  • 右边界：第一个大于target的位置减 1。

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vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {auto lower = [&](int t) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < t) {left = mid + 1;} else {right = mid - 1;}}return left;};int first = lower(target);if (first >= nums.size() || nums[first] != target) {return {-1, -1};}int last = lower(target + 1) - 1;  // 右边界return {first, last};
}

4. 旋转排序数组中的查找

• 特点：数组被旋转后，左右半部分仍有序，但整体无序。
• 关键：通过比较nums[mid]与nums[0]的关系，确定哪半部分有序，再根据有序部分缩小范围。

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int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == target) {return mid;}if (nums[0] <= nums[mid]) {  // 左半部分有序if (target >= nums[0] && target < nums[mid]) {right = mid - 1;  // 目标在左半部分} else {left = mid + 1;  // 目标在右半部分}} else {  // 右半部分有序if (target > nums[mid] && target <= nums.back()) {left = mid + 1;  // 目标在右半部分} else {right = mid - 1;  // 目标在左半部分}}}return -1;
}

5. 寻找旋转排序数组中的最小值

• 特点：最小值是旋转点，左侧元素都大于右侧元素。
• 关键：比较nums[mid]与最右侧元素的大小，确定旋转点位置。

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int findMin(vector<int>& nums) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] <= nums[right]) {  // 最小值在左侧right = mid - 1;} else {  // 最小值在右侧left = mid + 1;}}return nums[left];  // 最终left指向最小值
}

二分查找的关键点总结

1. 循环条件：通常为left <= right，确保不漏掉最后一个元素。
2. 中间索引计算：使用mid = left + (right - left) / 2防止整数溢出。
3. 边界调整：
   • 若目标在右侧，left = mid + 1。
   • 若目标在左侧，right = mid - 1。
4. 变种处理：
   • 查找左边界：找到第一个大于等于target的位置。
   • 查找右边界：找到第一个大于target的位置减 1。
   • 旋转数组：通过比较nums[mid]与边界元素，确定有序部分。

掌握这些技巧后，可以灵活应对各种二分查找的变种问题。