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wzjs 2025/9/20 10:03:13

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一、线性变换

1.1 单个(层)神经元：

如上图所示，单个参数经过单个神经元变化后得到输出y为wx+b,其中w为权重，b为偏置，这个过程就叫做线性变换，也就是x和y呈线性相关。

1.2 多个神经元输出

注意：神经元的输入大小必须跟x的大小相同。例如：x包含5个数，那么输入层神经元就有5个

1.2.1 输出神经元个数相同

多个神经元与单个神经元相似，x变为向量[ $x_1, x_2, x_3,$ ··· $,x_n$ ]，输出y也为向量，输出的向量为[ $y_1, y_2, y_3,$ ··· $,y_n$ ]，每个y对应一个x的权重和偏置计算。每个x的权重和偏置都是不相同的。

1.2.2 不同输出

当出现输出结果不同时，例如一个网络为4个输入层，2个输出层。那么该网络的输入层需要处理4个输入数据得到2个输出数据，也就对应了4输入神经元，2个输出层神经元，这时神经网络需要如何计算呢？

此时就需要引入矩阵运算，w权重变为权重矩阵如下所示：

$\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} w_{11} & w_{12} \\ w_{21} & w_{22} \\ w_{31} & w_{32} \\ w_{41} & w_{42} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} b_1 & b_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_1 & y_2 \end{bmatrix}$

二、非线性变换

2.1 非线性变换意义

如上图所示，若引入多层神经元，计算方式仍为 $y = wx + b$ 时，输出仍为线性变换，仍相当于单层神经元的作用。x和y仍为线性关系。因此我们要引入非线性变换来解决此问题。

把神经网络训练看为分类过程，那么只有线性变化就相当于在任意二维平面上，只能划分出线，在任意三维体中，只能划分出面，因此无法用于复杂的分类问题。那么就要引入非线性函数。

我们可以将非线性激活函数理解为将分类线进行扭曲变换，因此可以进行更复杂的分类问题。

图2.1引入非线性函数f的神经元：

2.2 激活函数

上述的非线性函数就是激活函数，常见的激活函数有tanh，sigmoid，ReLu等。

2.2.1 ReLu函数

如下图是ReLu函数的图像和它的一个改进Leaky ReLu，融入Relu函数后，变为如下计算公式

$y = wx + b$ → $y = ReLu(wx + b)$ → $y = Max(wx + b, 0)$

例如

我们需要训练一个网络如下，输入x输出y满足: $y = x^3 +x^2 -x -1$

设计一个神经网络拟合x和y：输入层1，隐藏层6，输出层1

2.2.2 无激活函数

假如训练出来中间层的w和b为：[5，7.7]，[1.2，1.3]，[-1.2，-1]，[1.2，-0.2]，[2，-1.1]，[5，-5]若没有激活函数，那么计算出来的6个线性表达式相加仍为一个线性表达式 $y = 13.2x+1.7$ ，为一条直线，无法拟合函数图像。

2.2.3 使用ReLu激活

通过ReLu的图像可知，使用ReLu激活函数时，函数只会输出正数或0，无法输出负数，这是不符合预期的，因此我们还需要加上符号矩阵，使用ReLu激活后表达式变为：

$y = \begin{bmatrix} -1 &-1 &-1 &1 &1 &1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \max(-5x - 7.7, 0) \\ \max(-1.2x - 1.3, 0) \\ \max(1.2x + 1, 0) \\ \max(1.2x - 0.2, 0) \\ \max(2x - 1.1, 0) \\\max(5x - 5, 0) \end{bmatrix}$