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CE、NCE、InfoNCE的演变过程及数学推导和关系

在机器学习和深度学习中，交叉熵（$CE$）、噪声对比估计（$NCE$）和信息噪声对比估计（$InfoNCE$）是三个紧密相关的损失函数，逐步演变以解决不同场景下的问题。以下是它们的演变过程、数学推导及关系分析。

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1. 交叉熵（Cross-Entropy, CE）

背景

$CE$是分类任务的基础损失函数，衡量模型预测分布$q$与真实分布$p$的差异。

数学形式

对于真实标签的独热编码分布$p$和模型预测分布$q$，交叉熵定义为：
$$\text{CE}(p,q)=-\sum _i{p}_i\log q_i$$

在分类任务中（$p$是单点分布），简化为：
$$\text{CE}=-\log q_y$$
其中$q_y$是模型对真实类别$y$的预测概率。

应用

用于监督学习，直接优化模型输出与标签的匹配度。

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2. 噪声对比估计（Noise-Contrastive Estimation, NCE）

背景

当模型输出未归一化（如语言模型中的logits）时，计算softmax的分母（配分函数）代价高昂。$NCE$通过将概率密度估计转化为二分类问题，避免显式计算归一化项。

核心思想

• 将真实数据样本（分布$p_d(x)$）与噪声样本（分布$p_n(x)$）对比
• 模型学习密度比$\frac{p_d(x)}{p_n(x)}$

数学推导

定义样本来自数据分布的概率：
$$p(\text{data}=1|x)=\frac{p_d(x)}{p_d(x)+k{p}_n(x)}$$
其中$k$是噪声样本比例。损失函数为二元交叉熵：
$${\mathcal{L}}_{\text{NCE}}=-{\mathbb{E}}_{x\sim p_d}\left[\log \frac{p_d(x)}{p_d(x)+k{p}_n(x)}\right]-k{\mathbb{E}}_{x\sim p_n}\left[\log \frac{k{p}_n(x)}{p_d(x)+k{p}_n(x)}\right]$$

应用

用于无监督学习（如语言模型），避免计算softmax分母。

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3. 信息噪声对比估计（InfoNCE）

背景

在对比学习中，需要最大化同一数据不同视角的互信息$I(q;k^{+})$。$InfoNCE$将$NCE$扩展到多负样本场景。

核心思想

• 对查询$q$，构造正样本$k^{+}$和负样本 { k − } \{k^-\} {k−}
• 目标：最大化$\frac{\exp (q\cdot k^{+}/\tau )}{\sum \exp (q\cdot k/\tau )}$

数学推导

损失函数形式：
$${\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}=-\mathbb{E}\left[\log \frac{\exp (q\cdot k^{+}/\tau )}{\exp (q\cdot k^{+}/\tau )+{\sum }_{k^{-}}\exp (q\cdot k^{-}/\tau )}\right]$$
其中$\tau$是温度系数。

理论意义

$InfoNCE$是互信息的下界：
$$I(q;k^{+})\ge \log N-{\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}$$
$N$为负样本数+1。

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三者关系总结

方法	目标	数学形式	关键改进
$CE$	监督分类	$-\log \frac{\exp (s_y)}{{\sum }_i\exp (s_i)}$	直接概率匹配
$NCE$	无监督密度估计	$-\log \frac{p_d(x)}{p_d(x)+k{p}_n(x)}-k\log \frac{k{p}_n(x)}{p_d(x)+k{p}_n(x)}$	二分类替代配分函数计算
$InfoNCE$	对比学习/互信息最大化	$-\log \frac{\exp (q\cdot k^{+}/\tau )}{\sum \exp (q\cdot k/\tau )}$	多负样本扩展

演变逻辑

1. $CE$ → $NCE$的演进：
   针对高维输出空间中softmax归一化分母计算复杂度$O(|V|)$过高的问题（其中$|V|$为类别数），$NCE$通过引入噪声对比的范式转变，将原始的多类概率估计问题重构为判别二分类问题。具体而言：

   • 构建噪声分布$p_n(x)$与数据分布$p_d(x)$的对抗框架
   • 通过调节噪声样本比例$k$控制计算复杂度，实现计算效率从$O(|V|)$到$O(k)$的优化
   • 保持概率密度比$\frac{p_d(x)}{p_n(x)}$的渐进一致性

2. $NCE$ → $InfoNCE$的演进：
   基于表示学习的需求，$InfoNCE$在$NCE$的基础上进行了三个关键改进：

   • 样本构造：从显式噪声分布采样转为隐式负样本挖掘（$N-1$个负例）
   • 目标函数：从二元logistic损失扩展为基于温度系数$\tau$的多类softmax交叉熵
   • 理论保障：建立与互信息$I(q;k^{+})$的显式关联，满足${\lim }_{N\to \infty }I(q;k^{+})\ge \log N-{\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}$

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总结

• $CE$：监督学习的基础损失
• $NCE$：通过噪声对比避免配分函数计算
• $InfoNCE$：成为对比学习的核心损失函数

三者的演变体现了从直接概率匹配到隐式表示学习的范式转变，核心是通过设计更高效的损失函数解决实际计算难题。