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修改数组

题目描述

给定一个长度为 NN 的数组 A=[A1,A2,⋅⋅⋅,AN]A=[A1​,A2​,⋅⋅⋅,AN​]，数组中有可能有重复出现的整数。

现在小明要按以下方法将其修改为没有重复整数的数组。小明会依次修改A2,A3,⋅⋅⋅,ANA2​,A3​,⋅⋅⋅,AN​。

当修改 AiAi​ 时，小明会检查 AiAi​ 是否在 A1A1​ ∼ Ai−1Ai​−1 中出现过。如果出现过，则小明会给 AiAi​ 加上 1 ；如果新的 AiAi​ 仍在之前出现过，小明会持续给 AiAi​ 加 1 ，直 到 AiAi​ 没有在 A1A1​ ∼ Ai−1Ai​−1 中出现过。

当 ANAN​ 也经过上述修改之后，显然 AA 数组中就没有重复的整数了。

现在给定初始的 AA 数组，请你计算出最终的 AA 数组。

输入描述

第一行包含一个整数 NN。

第二行包含 NN 个整数 A1,A2,⋅⋅⋅,ANA1​,A2​,⋅⋅⋅,AN​。

其中，1≤N≤105，1≤Ai≤1061≤N≤105，1≤Ai​≤106。

输出描述

输出 NN 个整数，依次是最终的 A1,A2,⋅⋅⋅,ANA1​,A2​,⋅⋅⋅,AN​。

输入输出样例

示例

输入

5
2 1 1 3 4

输出

2 1 3 4 5

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 256M

总通过次数: 6130  |  总提交次数: 8905  |  通过率: 68.8%

难度: 困难   标签: 2019, 并查集, 省赛

算法思路

本题需要高效处理数组重复元素，核心挑战在于避免暴力解法的O(n²)时间复杂度。最优解法使用​​并查集​​，通过路径压缩实现高效查找：

1. ​​并查集维护​​：每个数字指向下一个可用值
2. ​​路径压缩​​：查询时优化后续访问路径
3. ​​动态分配​​：处理数字递增时的关联关系

https://oi-wiki.org/ds/images/dsu1.png
并查集路径压缩示意图

代码实现（C++）

#include <iostream>
using namespace std;const int MAX = 2000005; // 最大数值范围
int fa[MAX]; // 并查集数组// 带路径压缩的并查集查询
int find(int x) {if (x != fa[x]) fa[x] = find(fa[x]); // 路径压缩return fa[x];
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int n;cin >> n;// 初始化并查集for (int i = 1; i < MAX; i++) fa[i] = i;// 处理每个数字for (int i = 0; i < n; i++) {int num;cin >> num;int root = find(num); // 找到当前可用值cout << root << " ";fa[root] = find(root + 1); // 指向下一个可用值}return 0;
}

算法步骤详解

1. ​​初始化​​：创建并查集数组fa，初始每个元素指向自己
2. ​​处理元素​​：
   • 输入数字num
   • 通过find(num)找到实际可用值root
   • 输出root并更新fa[root] = find(root+1)
3. ​​路径压缩​​：find()函数递归优化查询路径

代码解析

1. ​​并查集设计​​：

   • fa数组存储每个数字的下一个可用值
   • 初始状态：fa[i] = i（每个数字都可用）

2. ​​路径压缩​​：

   if (x != fa[x]) fa[x] = find(fa[x]); // 核心优化

   将查询路径上的所有节点直接指向根节点，大幅减少后续查询时间

3. ​​动态更新​​：

   fa[root] = find(root + 1);

   当前数字使用后，指向下一个可用数字的根（处理连续被占用情况）

实例验证

​​输入​​：5\n2 1 1 3 4
​​处理过程​​：

1. 初始：fa[1]=1, fa[2]=2,...
2. 处理2 → find(2)=2，输出2，设置fa[2]=find(3)=3
3. 处理1 → find(1)=1，输出1，设置fa[1]=find(2)=3（因fa[2]=3）
4. 处理1 → find(1)=find(3)=3，输出3，设置fa[3]=find(4)=4
5. 处理3 → find(3)=4，输出4，设置fa[4]=find(5)=5
6. 处理4 → find(4)=5，输出5
   ​​输出​​：2 1 3 4 5 ✅

注意事项

1. ​​数组大小​​：

   • 需设置MAX = 初始最大值 + n + 5（示例中2000005）
   • 最坏情况：所有元素为1，最大值为1 + n

2. ​​时间复杂度​​：

   • 单次find()均摊O(α(n))（反阿克曼函数）
   • 整体O(nα(n)) ≈ O(n)

3. ​​边界处理​​：

   • 首元素不需处理
   • 输入数据保证n≥1

测试点设计

​​测试类型​​	​​输入样例​​	​​预期输出​​	​​验证重点​​
最小规模	1\n5	5	单元素处理
全相同值	5\n1 1 1 1 1	1 2 3 4 5	连续递增处理
无重复	5\n5 4 3 2 1	5 4 3 2 1	无修改情况
边界值	100000\n(全1)	1 2 ... 100000	最大数据性能
混合重复	6\n2 2 1 3 3 1	2 3 1 4 5 6	非连续重复

优化建议

1. ​​内存优化​​：

   vector<int> fa(MAX); // 动态分配

   根据n动态设置MAX值，减少内存占用

2. ​​输入优化​​：

   ios::sync_with_stdio(false);
   cin.tie(0); // 解除IO同步

3. ​​非递归查询​​（避免递归爆栈）：

   int find(int x) {int root = x;while (root != fa[root]) root = fa[root];while (x != root) {int next = fa[x];fa[x] = root;x = next;}return root;
   }

4. ​​预分配空间​​：

   fa.reserve(MAX); // 减少vector扩容