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《灵珠觉醒：从零到算法金仙的C++修炼》卷三·天劫试炼（53）炼妖壶收子集 - 子集问题（位运算与回溯）

哪吒在数据修仙界中继续他的修炼之旅。这一次，他来到了一片神秘的炼妖壶空间，壶中有一个巨大的炼妖壶，壶身闪烁着神秘的光芒。壶的入口处有一块巨大的石碑，上面刻着一行文字：“欲收此壶，需以炼妖之力，收子集，位运算与回溯显真身。”

哪吒定睛一看，石碑上还有一行小字：“给定集合[1, 2, 3]，其所有子集为[[], [1], [2], [3], [1, 2], [1, 3], [2, 3], [1, 2, 3]]。”哪吒心中一动，他知道这是一道关于生成集合所有子集的难题，需要通过位运算与回溯的方法来解决。

暴力解法：炼妖壶的初次尝试

哪吒心想：“要生成所有子集，我可以逐个元素选择。”他催动炼妖壶之力，通过递归的方式，逐个元素选择或不选择，试图生成所有可能的子集。

vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {vector<vector<int>> result;vector<int> path;backtrack(nums, 0, path, result);return result;
}void backtrack(vector<int>& nums, int start, vector<int>& path, vector<vector<int>>& result) {result.push_back(path);for (int i = start; i < nums.size(); ++i) {path.push_back(nums[i]);backtrack(nums, i + 1, path, result);path.pop_back();}
}

哪吒成功地生成了所有子集，但炼妖壶的光芒却黯淡了下来。他意识到，这种方法虽然可行，但效率低下，尤其是当集合元素很多时，灵力消耗巨大。

C++语法点

在C++中，子集生成问题涉及到递归和回溯。以下是一些重要特性：

• 递归：

  • 通过递归函数实现回溯。
  • 常用操作：
    • path.push_back(nums[i])：将当前元素加入路径。
    • path.pop_back()：回溯，移除最后一个元素。

• 回溯：

  • 通过递归遍历所有可能的选择。
  • 常用操作：
    • backtrack(nums, i + 1, path, result)：递归调用，从下一个元素开始。

高阶优化：位运算与回溯的智慧

哪吒元神中突然浮现金色铭文——「炼妖壶收子集，位运算与回溯显真身」。他意识到，可以通过位运算优化子集生成过程。

哪吒决定使用位运算，通过遍历所有可能的二进制位组合，生成所有子集。每个二进制位表示是否选择对应元素。通过这种方