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权重衰退

• 定义损失函数 $ \ell(\mathbf{w}, b) $ 来衡量模型的预测值与真实值的差距

使用L2范数作为硬性限制

• 通过限制参数值的选择范围来控制模型容量

$$\begin{gathered} \min \ell (\mathbf{w},b) \\ subjectto\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2\le \theta \end{gathered}$$

• 通常不限制偏移 b（限不限制都差不多）
• 小的 $\theta$ 意味着更强的正则项

使用均方范数作为柔性限制

• 对于约束$\mathbf{w}{\Vert }^2\le \theta$ ，它限制了解的候选集合（即只选择范数小于某个值的 ）。这个问题难以直接通过传统求导法解决,我们引入$\lambda$ 作为惩罚项参数，将约束条件放松，变为惩罚大于 $\theta$ 的 $\mathbf{w}{\Vert }^2$ 。则拉格朗日函数为
  $$\mathcal{L}(\mathbf{w},b,\lambda )=\ell (\mathbf{w},b)+\frac{\lambda }{2}(\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2-\theta )$$
  通常在不考虑 (\theta) 的情况下，直接写为：
  $$\min \ell (\mathbf{w},b)+\frac{\lambda }{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2$$
  通过优化有正则化项的目标函数，我们是试图在最小化损失函数的同时，让 $ |\mathbf{w}|^2$ 尽量小，达到同样的效果。

• 即对每个 $\theta$ ，都可以找到 $\lambda$ 使得之前的目标函数等价于下面
  $$\min \ell (\mathbf{w},b)+\frac{\lambda }{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2$$
  其中超参数 $\lambda$ 控制了正则项的重要程度，

  1. $\lambda =0$ ：无作用
  2. $\lambda \to \infty ,\mathbf{w}\to 0$

参数更新法则

• 计算梯度

$$\begin{array}{rl}{▽}_{w_t}& =\frac{\partial }{\partial \mathbf{w}}\left(\ell (\mathbf{w},b)+\frac{\lambda }{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2\right)\\ & =\frac{\partial \ell (\mathbf{w},b)}{\partial \mathbf{w}}+\lambda \mathbf{w}\end{array}$$

• 时间 t 更新参数

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{w}}_{t+1}& =w_t-\eta {▽}_{w_t}\\ & =w_t-\eta \cdot (\frac{\partial \ell (\mathbf{w},b)}{\partial \mathbf{w}}+\lambda \mathbf{w})\\ & =(1-\eta \lambda ){\mathbf{w}}_t-\eta \frac{\partial \ell \left({\mathbf{w}}_t,b_t\right)}{\partial {\mathbf{w}}_t}\end{array}$$

• 通常 $\eta \lambda <1$ ，则$(1-\eta \lambda )<1$ ，在更新参数梯度的时候，$w_t$ 会首先乘以一个小于1的数， 在深度学习中通常叫做权重衰退。

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