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wzjs 2025/9/16 11:54:46
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GPU渲染过程

矩阵

什么是矩阵（Matrix）

向量

    （3，9，88）

      点乘：计算向量夹角

      叉乘：计算两个向量构成平面的法向量。

矩阵

    

       矩阵有3行，2列，所以表示为M32

       获取固定元素M22，表示获取第二行，第二列元素。

向量和矩阵

行矩阵

        M_{13}=\begin{bmatrix} 3 &9 &88 \end{bmatrix}

 列矩阵

        M_{31}=\begin{bmatrix} 3\\ 9\\ 88 \end{bmatrix}

        矩阵实际上是一个数组存储（2维数组），向量也是一个数组（1维数组）

        矩阵是有行（Row）和列（Column）之分

矩阵转置（行变列，列变行）

例：M=\begin{bmatrix} 2 &3 \\ -8 &22 \\ 0& 7 \end{bmatrix}              转置后  M^{T}=\begin{bmatrix} 2 &-8 &0 \\ 3& 22& 7 \end{bmatrix}

矩阵乘法

        矩阵和标量的乘法：矩阵的每个分量，乘以标量

        例：M_{33}=\begin{bmatrix} M_{11}& M_{12} & M_{13} \\ M_{21}& M_{22} & M_{23} \\ M_{31}& M_{32} & M_{33} \end{bmatrix}              M*X=\begin{bmatrix} M_{11}*X& M_{12}*X & M_{13}*X \\ M_{21}*X& M_{22}*X & M_{23}*X \\ M_{31}*X& M_{32}*X & M_{33}*X \end{bmatrix}

矩阵和矩阵乘法

        限制条件：乘号左边的矩阵列数=乘号右边的矩阵行数

        矩阵相乘得出的矩阵：左边矩阵的行数x右边矩阵的列数（M_{43}xM_{35}=M_{45}）

        矩阵相乘不满足交换律，满足结合律        

                交换律：3x4=4x3

                结合律：3x4x5=(3x4)x5=3x(4x5)

        矩阵运算

                M1*M2 != M2*M1

                M1*M2*M3=M1*(M2*M3)

        矩阵运算公式

        例：\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \\ a_{31}&a_{32} \\ a_{41}& a_{42} \end{bmatrix} x \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} &b_{13} &b_{14} \\ b_{21}&b_{22} & b_{23} & b_{24} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{13} &c_{14} \\ c_{21}& c_{22} & c_{23}&c_{24} \\ c_{31}& c_{32} &c_{33} &c_{34} \\ c_{41}&c_{42} &c_{43} &c_{44} \end{bmatrix}

        c_{23}=a_{21}*b_{13}+a_{22}*b_{23}

        矩阵相乘技巧

        1.新矩阵的每个元素编号列出

        2.找到左边矩阵对应的行和右边矩阵对应的列，相乘再相加。

Unity向量乘以矩阵

        当向量经过矩阵乘法后，我们可以理解为矩阵对向量进行了变换操作。

        行矩阵与矩阵相乘：\begin{bmatrix} x& y& z \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{13} \\ c_{21}&c_{22} &c_{23} \\ c_{31}&c_{32} & c_{33} \end{bmatrix}

        列矩阵与矩阵相乘：\begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{13} \\ c_{21}&c_{22} &c_{23} \\ c_{31}&c_{32} & c_{33} \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}

        Unity矩阵与向量运算，普遍采用列矩阵右乘

特殊矩阵

        方阵：行数与列数相同的矩阵，现阶段考虑2x2,3x3,4x4

        对角：

                对角线元素：方阵中，行数和列数相同的元素，就是对角线元素

                非对角线元素：方阵中，除了对角线元素以外的所有其他元素

                对角矩阵：非对角线元素为0，对角线元素是任意值的方阵

                例：M=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& -3 &0 \\ 0& 0& 2 \end{bmatrix}

                数量矩阵：对角线元素相等的对角矩阵

                例：M=\begin{bmatrix} 3 &0 &0 \\ 0& 3 & 0\\ 0& 0 & 3 \end{bmatrix}

                单位矩阵：对角线元素都为1的对角矩阵，单位矩阵乘以另一个矩阵，还是原来的矩阵

                特性：单位矩阵乘以另一个矩阵，还是原来的矩阵

                例：M=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}

逆矩阵

        逆矩阵是基于方阵运算出来的

        矩阵的行列式

                由于计算逆矩阵时，行列式会作为除数。因为除法的除数不能为0，所以可以通过

                计算矩阵的行列式，来判定矩阵是否存在逆矩阵。

        行列式表示方式：假设有M矩阵，|M|表示M矩阵的行列式。

        注意：行列式是一个标量

        2x2矩阵的行列式

        

        3x3矩阵的行列式

    

        代数余子式计算

                Cij=-1的i+j次幂*去掉第i行，和第j列组成的矩阵的行列式

                \begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{13} \\ c_{21}&c_{22} &c_{23} \\ c_{31}&c_{32} &c_{33} \end{bmatrix}

                计算每个分量的代数余子式，用于转置，再计算逆矩阵

                标准伴随矩阵：代数余子式构成的矩阵再转置

                逆矩阵计算公式

                        逆矩阵=标准伴随矩阵/行列式

                逆矩阵的表示方法：假设有矩阵M，逆矩阵就是M^{-1}

                特点：

                        逆矩阵的逆矩阵就是原始矩阵M=(M^{-1})^{-1}

                        单位矩阵的逆矩阵，就是单位矩阵本身

                        转置矩阵的逆矩阵，是你矩阵的转置(M^{T})^{-1}=(M^{-1})^{T}

                        两个矩阵相乘的逆矩阵等于后矩阵的逆矩阵乘以矩阵的逆矩阵

                                (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

                        重要的几何含义：一个矩阵可以表示一个变换，而逆矩阵可以还原这个变换。

        

    该系列专栏为网课课程笔记，仅用于学习参考。            

        

                        

                        


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