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一、最长公共子序列

1143. 最长公共子序列

（一）灵茶山艾府

最长公共子序列 编辑距离【基础算法精讲 19】

定义：D[i][j]表示text1的前i个字符和text2的前j个字符的LCS。

然后需要考虑两个问题：

因此得到递推式：

（二）邋遢大哥233

[轻松掌握动态规划]5.最长公共子序列 LCS

最终代码：

class Solution {
public:int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {int n = text1.size();int m = text2.size();vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {if (text1[i - 1] == text2[j - 1])f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;elsef[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);}}return f[n][m];}
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nm)。
• 空间复杂度：O(nm)。

降维后（滚动数组）：

class Solution {
public:int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {int n = text1.size();int m = text2.size();vector<int> f(m + 1, 0);for (int i = 1; i <= n; i++) {int temp = 0; // 保存f[i-1][j-1]for (int j = 1; j <= m; j++) {int pre = f[j]; // 保存这一行的f[j]方便作为左上角if (text1[i - 1] == text2[j - 1])f[j] = temp + 1;elsef[j] = max(f[j], f[j - 1]);temp = pre; // 成为下一行的左上角}}return f[m];}
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nm)。
• 空间复杂度：O(m)。

二、编辑距离

 72. 编辑距离

代码：

class Solution {
public:int minDistance(string word1, string word2) {int n = word1.size();int m = word2.size();vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));for (int i = 0; i <= m; i++)f[0][i] = i;for (int i = 0; i <= n; i++)f[i][0] = i;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {if (word1[i - 1] != word2[j - 1])f[i][j] =min(min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]), f[i - 1][j - 1]) + 1;elsef[i][j] = f[i - 1][j - 1];}}return f[n][m];}
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nm)，其中 n 为 s 的长度，m 为 t 的长度。
• 空间复杂度：O(nm)。

降维后（滚动数组）：

class Solution {
public:int minDistance(string word1, string word2) {int n = word1.size();int m = word2.size();vector<int> f(m + 1, 0);for (int i = 0; i <= m; i++)f[i] = i;for (int i = 1; i <= n; i++) {int pre = f[0]; // pre 保存 f[i-1][j-1]，初始为 f[i-1][0] = i-1f[0] = i;       // 更新当前行的 f[i][0] = ifor (int j = 1; j <= m; j++) {int temp = f[j]; // 保存本次f[j]，方便保留为左上角if (word1[i - 1] != word2[j - 1])f[j] = min(min(f[j], f[j - 1]), pre) + 1;elsef[j] = pre;pre = temp; // pre成为左上角}}return f[m];}
};

易错点：

int pre = f[0]; // pre 保存 f[i-1][j-1]，初始为 f[i-1][0] = i-1
f[0] = i;       // 更新当前行的 f[i][0] = i

1. 降维后，每行的f[0]（最左边一列）也是要随时更新的。
2. 而pre要履行它的职责就是保存左上角的数，而对于每一行刚开始的时候，就是保存f[0]。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nm)。
• 空间复杂度：O(m)。