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题目描述：

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

输入输出样例：

示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：
1 <= nums.length <= 2500
-10⁴ <= nums[i] <= 10⁴

题解：

解题思路：

思路一（动态规划）：

1、因递增子序列，含有重复部分（其部分序列也为递增子序列），所以可以采用动态规划的方法来解决。

2、具体思路如下：
① dp[ i ]的含义为以当前位置 i 为结尾的最长递增子序列的长度。
② 当我们遍历到nums[i]时。若之前元素nums[ j ] < nums[ i ]，则dp[ i ] = max(dp[ j ]+1,dp[ i ])（其含义是遍历 i 之前的所有位置 j∈[ 0,i )，若之前的元素nums[ j ]比当前元素nums[ i ]小则满足递增的条件，则取以 j 为结尾的最长递增子序列的长度+1 的最大值，需遍历 i 之前的所有 j）。
0…j…i…nums.size()-1
③ dp[0]=1，第一个数字最长递增子序列的长度为1。dp数组中其他值初始化为1，因最小递增长度为1。
④ 定义ans来存储最大的dp[ i ]，因dp[ i ]的定义决定。

3、复杂度分析：
① 时间复杂度：O(n²)，其中 n 是数组 nums 的长度，使用了双重循环。
② 空间复杂度：O(n)，dp数组使用的空间。

代码实现

代码实现（思路一（动态规划））：

class Solution {public:// 函数：求最长递增子序列的长度int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {// 如果数组为空或只有一个元素，直接返回其长度if (nums.size() <= 1) {return nums.size();}// dp数组用于存储以每个元素为结尾的最长递增子序列的长度vector<int> dp(nums.size(), 1); // 初始化每个元素的最长递增子序列长度为1// 记录最终的最长递增子序列的长度int ans = 0;// 遍历数组，从第二个元素开始for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {// 遍历前面所有元素，比较nums[i]和nums[j]，如果nums[i] > nums[j]，则说明可以延伸以nums[j]结尾的递增子序列for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) {// 更新dp[i]为可能的最大递增子序列长度dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}// 更新当前找到的最长递增子序列长度ans = max(ans, dp[i]);}// 返回最长递增子序列的长度return ans;}};

以思路一为例进行调试

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;class Solution {public:// 函数：求最长递增子序列的长度int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {// 如果数组为空或只有一个元素，直接返回其长度if (nums.size() <= 1) {return nums.size();}// dp数组用于存储以每个元素为结尾的最长递增子序列的长度vector<int> dp(nums.size(), 1); // 初始化每个元素的最长递增子序列长度为1// 记录最终的最长递增子序列的长度int ans = 0;// 遍历数组，从第二个元素开始for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {// 遍历前面所有元素，比较nums[i]和nums[j]，如果nums[i] > nums[j]，则说明可以延伸以nums[j]结尾的递增子序列for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) {// 更新dp[i]为可能的最大递增子序列长度dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}// 更新当前找到的最长递增子序列长度ans = max(ans, dp[i]);}// 返回最长递增子序列的长度return ans;}};int main(int argc, char const *argv[])
{vector<int> nums={10,9,2,5,3,7,101,18};Solution s;cout<<s.lengthOfLIS(nums);return 0;
}

LeetCode 热题 100_最长递增子序列（87_300)原题链接
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