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题目描述

第一步，明确并理解dp数组及下标的含义

第二步，分析明确并理解递推公式

1.求dp[i][j].holding

2.求dp[i][j].sold

第三步，理解dp数组如何初始化

第四步，理解遍历顺序

代码

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题目描述

这道题把第123题推广为一般情形。第123题限制最多可以完成两笔交易，这道题改为最多可以完成k笔交易。因此，两道题没有本质区别。仍然用第123题的思路来分析。

第一步，明确并理解dp数组及下标的含义

//最多可以完成k笔交易,用j表示交易的序号，j从0开始起算表示第一次交易，j取值范围是[0,k-1]

//约定好，下文提到的【第j只股票】指的是第j次买入的股票

//dp[i][j].holding表示到第i天结束时，处于持有第j只股票的状态的最大利润

//dp[i][j].sold表示到第i天结束时，处于已经卖出第j只股票但是还没有买入第j+1只股票的状态下的最大利润

    struct State{int holding = 0;int sold = 0;};int n = prices.size();//最多可以完成k笔交易,用j表示交易的序号，j从0开始起算表示第一次交易，j取值范围是[0,k-1]//约定好，下文提到的【第j只股票】指的是第j次买入的股票//dp[i][j].holding表示到第i天结束时，处于持有第j只股票的状态的最大利润//dp[i][j].sold表示到第i天结束时，处于已经卖出第j只股票但是还没有买入第j+1只股票的状态下的最大利润vector<vector<State>> dp(n);for(int i =0;i <n;i++)dp[i].resize(k);

第二步，分析明确并理解递推公式

1.求dp[i][j].holding

//到第i天结束时处于持有第j只股票的状态，有两种可能的原因：

//一是前一天(第i-1天)结束时就已经处于持有第j只股票的状态(对应dp[i-1][j].holding)，第i天什么也不做。

//二是第i天买入了第j只股票(需支付prices[i])，第i天能买入第j只股票的前提是前一天(第i-1天)结束时处于已经卖出第j-1只股票但是还没有买入第j只股票的状态(对应dp[i-1][j-1].sold)。j如果是0就没有第j-1只股票,需要特别处理。

int temp = (j > 0) ? (dp[i-1][j-1].sold) : (0);

dp[i][j].holding = max(dp[i-1][j].holding,temp - prices[i]);

2.求dp[i][j].sold

//到第i天结束时处于已经卖出第j只股票但是还没有买入第j+1只股票的状态，有两种可能的原因：

//一是前一天(第i-1天)结束时就已经处于已经卖出第j只股票但是还没有买入第j+1只股票的状态(对应dp[i-1][j].sold),第i天什么也不做

//二是第i天卖出了第j只股票(收入prices[i]),第i天能卖出第j只股票的前提是前一天(第i-1天)结束时处于持有第j只股票的状态(对应状态dp[i-1][j].holding)

dp[i][j].sold = max(dp[i-1][j].sold,dp[i-1][j].holding + prices[i]);

        for(int i = 1;i < n;i++){for(int j = 0;j < k;j++){//到第i天结束时处于持有第j只股票的状态，有两种可能的原因：//一是前一天(第i-1天)结束时就已经处于持有第j只股票的状态(对应dp[i-1][j].holding)，第i天什么也不做。//二是第i天买入了第j只股票(需支付prices[i])，第i天能买入第j只股票的前提是前一天(第i-1天)结束时处于已经卖出第j-1只股票但是还没有买入第j只股票的状态(对应dp[i-1][j-1].sold)。j如果是0就没有第j-1只股票,需要特别处理。int temp = (j > 0) ? (dp[i-1][j-1].sold) : (0);dp[i][j].holding = max(dp[i-1][j].holding,temp - prices[i]);//到第i天结束时处于已经卖出第j只股票但是还没有买入第j+1只股票的状态，有两种可能的原因：//一是前一天(第i-1天)结束时就已经处于已经卖出第j只股票但是还没有买入第j+1只股票的状态(对应dp[i-1][j].sold),第i天什么也不做//二是第i天卖出了第j只股票(收入prices[i]),第i天能卖出第j只股票的前提是前一天(第i-1天)结束时处于持有第j只股票的状态(对应状态dp[i-1][j].holding)dp[i][j].sold = max(dp[i-1][j].sold,dp[i-1][j].holding + prices[i]);}}

第三步，理解dp数组如何初始化

for(int j = 0;j <k;j++){

dp[0][j].holding = -prices[0];//到第0天结束时处于持有第j只股票的状态，可以理解为对第0天的股票买了又卖重复j-1次之后再买入

dp[0][j].sold = 0;//到第0天结束时处于已经卖出第j只股票但是还没有买入第j+1只股票的状态，可以理解为对第0天的股票买了又卖重复j次

}

        for(int j = 0;j <k;j++){dp[0][j].holding = -prices[0];//到第0天结束时处于持有第j只股票的状态，可以理解为对第0天的股票买了又卖重复j-1次之后再买入dp[0][j].sold = 0;//到第0天结束时处于已经卖出第j只股票但是还没有买入第j+1只股票的状态，可以理解为对第0天的股票买了又卖重复j次}

第四步，理解遍历顺序

由递推公式

int temp = (j > 0) ? (dp[i-1][j-1].sold) : (0);

dp[i][j].holding = max(dp[i-1][j].holding,temp - prices[i]);

dp[i][j].sold = max(dp[i-1][j].sold,dp[i-1][j].holding + prices[i]);

可知日期的序号i（或者说股价的序号）应该从小到大遍历。

可知买入的股票的序号j，也应该从小到大遍历。

代码

class Solution {struct State{int holding = 0;int sold = 0;};
public:int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {int n = prices.size();//最多可以完成k笔交易,用j表示交易的序号，j从0开始起算表示第一次交易，j取值范围是[0,k-1]//约定好，下文提到的【第j只股票】指的是第j次买入的股票//dp[i][j].holding表示到第i天结束时，处于持有第j只股票的状态的最大利润//dp[i][j].sold表示到第i天结束时，处于已经卖出第j只股票但是还没有买入第j+1只股票的状态下的最大利润vector<vector<State>> dp(n);for(int i =0;i <n;i++)dp[i].resize(k);for(int j = 0;j <k;j++){dp[0][j].holding = -prices[0];//到第0天结束时处于持有第j只股票的状态，可以理解为对第0天的股票买了又卖重复j-1次之后再买入dp[0][j].sold = 0;//到第0天结束时处于已经卖出第j只股票但是还没有买入第j+1只股票的状态，可以理解为对第0天的股票买了又卖重复j次}for(int i = 1;i < n;i++){for(int j = 0;j < k;j++){//到第i天结束时处于持有第j只股票的状态，有两种可能的原因：//一是前一天(第i-1天)结束时就已经处于持有第j只股票的状态(对应dp[i-1][j].holding)，第i天什么也不做。//二是第i天买入了第j只股票(需支付prices[i])，第i天能买入第j只股票的前提是前一天(第i-1天)结束时处于已经卖出第j-1只股票但是还没有买入第j只股票的状态(对应dp[i-1][j-1].sold)。j如果是0就没有第j-1只股票,需要特别处理。int temp = (j > 0) ? (dp[i-1][j-1].sold) : (0);dp[i][j].holding = max(dp[i-1][j].holding,temp - prices[i]);//到第i天结束时处于已经卖出第j只股票但是还没有买入第j+1只股票的状态，有两种可能的原因：//一是前一天(第i-1天)结束时就已经处于已经卖出第j只股票但是还没有买入第j+1只股票的状态(对应dp[i-1][j].sold),第i天什么也不做//二是第i天卖出了第j只股票(收入prices[i]),第i天能卖出第j只股票的前提是前一天(第i-1天)结束时处于持有第j只股票的状态(对应状态dp[i-1][j].holding)dp[i][j].sold = max(dp[i-1][j].sold,dp[i-1][j].holding + prices[i]);}}int max_profit = 0;for(int j = 0;j < k;j++){if(dp[n-1][j].sold > max_profit)max_profit = dp[n-1][j].sold;}return max_profit;}
};

把本题的代码中的k改成2，直接可以用作123. Best Time to Buy and Sell Stock III的答案。