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2395 - 部分背包问题

题目描述

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阿里巴巴走进了装满宝藏的藏宝洞。藏宝洞里面有 N (N < 100)堆金币，第i堆金币的总重量和总价值分别是mi,vi (l < mi, ui < 100).
阿里巴巴有一个承重量为 T(T< 1000)的背包，但并不一定有办法将全部的金币都装进去。他想装走尽可能多价值的金币。
所有金币都可以随意分割，分割完的金币重量价值比(也就是单位价格)不变。
请问阿里巴巴最多可以拿走多少价值的金币?

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输入

输入 第一行两个整数 N , T 。 接下来 N 行，每行两个整数 m i ​ , v i ​ 。

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输出

一个实数表示答案，输出两位小数。

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样例

- 输出：
4 50
10 60
20 100
30 120
15 45	
- 输出：
240.00

问题分析

• 单位价值：60/10=6，100/20=5，120/30=4。

• 优先装单位价值最高的金币堆：

  • 全部装入第1堆（重量10，价值60）。

  • 全部装入第2堆（重量20，价值100）。

  • 剩余承重 50-10-20=20，装入 20/30 的第3堆（价值 120*(20/30)=80）。

• 总价值：60 + 100 + 80 = 240。

贪心算法思路

1. 计算单位价值：对每堆金币，计算 vi / mi（每单位重量的价值）。

2. 排序：按单位价值 从高到低 排序。

3. 装入背包：

   • 优先装入单位价值高的金币堆。

   • 如果当前堆可以完全装入（mi ≤ 剩余承重），则全部装入。

   • 否则装入部分（剩余承重 / mi * vi），并结束。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
using namespace std;struct Coin {int weight, value;double unit; // 单位价值
};bool compare(Coin a, Coin b) {return a.unit > b.unit; // 按单位价值降序排序
}int main() {int N, T;cin >> N >> T;vector<Coin> coins(N);for (int i = 0; i < N; i++) {cin >> coins[i].weight >> coins[i].value;coins[i].unit = (double)coins[i].value / coins[i].weight;}sort(coins.begin(), coins.end(), compare); // 排序double max_value = 0.0;int remaining = T; // 剩余承重for (int i = 0; i < N && remaining > 0; i++) {if (coins[i].weight <= remaining) {// 全部装入max_value += coins[i].value;remaining -= coins[i].weight;} else {// 装入部分max_value += coins[i].unit * remaining;remaining = 0;}}cout << fixed << setprecision(2) << max_value << endl;return 0;
}

总结

1.结构体定义：Coin 存储金币堆的重量、价值和单位价值。2.排序：按 unit 降序排列，优先处理高单位价值的金币。3.贪心选择：- 如果当前堆能完整装入，直接加总价值。- 否则装入部分，比例计算为 剩余承重 * unit。4.输出：保留两位小数。