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算法过程

  Dodgson不仅仅是一个数学家，其实他更著名的一个身份是作家，写出了著名的儿童文学作品《爱丽丝梦游仙境》。他发明文学作品时用笔名Lewis Carroll，发表数学论文时用Dodgson，所以很难把这两个名字联系起来。
  闲话不说了，先说说他的算法过程。总体来说，算法过程是一个类似于Chió算法的过程，把矩阵不断缩小，直到缩小到$1\times 1$的矩阵。但是细节与Chió算法有很大不同,Dodgson算法是每次缩小两阶。算法具体是如下过程：

1. 先通过行倍加，让中心块interior没有0，中心块是一个$(n-2)\times (n-2)$的矩阵，这个中心块是原矩阵的子矩阵就叫做$S$吧。
2. 把每相邻四个元素的行列式计算出来，组成一个$(n-1)\times (n-1)$的矩阵，记作矩阵$B$。
3. 还没完，把矩阵B的每相邻四个元素的行列式计算出来，这样组成一个$(n-2)\times (n-2)$的矩阵，记作矩阵$C$，把$C$的每个元素除于A的中心块的对应位置元素，得到矩阵$D$。
4. 如果D是$1\times 1$的矩阵，那么原矩阵的行列式就等于$D$的行列式。如果不是，再进行一轮迭代，就计算B的行列式，但是需要跳过第2步的计算，用D作为第2步计算的结果。

  我以一个$5\times 5$例子讲述这个过程：
$$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 1& -1& 2& 2\\ 1& -1& 2& 2& 3\\ 1& 1& 2& -1& -3\\ 2& -1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right) \\ B=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -6& 2\\ 2& -4& -6& -3\\ -3& 3& 3& 2\\ 3& -2& 0& 0\end{array}\right) \\ C=\left(\begin{array}{ccc}-2& -30& 30\\ -6& 6& -3\\ -3& 6& 0\end{array}\right) \\ D=\left(\begin{array}{ccc}2& -15& 15\\ -6& 3& 3\\ 3& 6& 0\end{array}\right) \end{gathered}$$
  得到的结果D不是$1\times 1$的矩阵，那么计算B的行列式，但是把D作为第二步的运算结果：
$$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -6& 2\\ 2& -4& -6& -3\\ -3& 3& 3& 2\\ 3& -2& 0& 0\end{array}\right) \\ B=\left(\begin{array}{ccc}2& -15& 15\\ -6& 3& 3\\ 3& 6& 0\end{array}\right) \\ C=\left(\begin{array}{cc}-84& -90\\ -45& -18\end{array}\right) \\ D=\left(\begin{array}{cc}21& 15\\ -15& -6\end{array}\right) \end{gathered}$$
  $D$是一个$2\times 2$的矩阵还不行，还得缩小，再来：
$$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{ccc}2& -15& 15\\ -6& 3& 3\\ 3& 6& 0\end{array}\right) \\ B=\left(\begin{array}{cc}21& 15\\ -15& -6\end{array}\right) \\ C=\left(\begin{array}{c}99\end{array}\right) \\ D=\left(\begin{array}{c}33\end{array}\right) \end{gathered}$$
  最终结果出来了，是33.

Python实现

  我只贴相关核心代码,我的代码中没有判断中心块是否含有0，不过这是为了学习算法，而不是用于实际生产项目，所以我就没继续完善：

    def interior(self):# Dodgson算法的中心块子矩阵n = len(self.__vectors)array = [[0 for _ in range(n - 2)] for _ in range(n - 2)]# i 代表行 j代表列for i in range(0, n - 2):for j in range(0, n - 2):# 如果column = 0array[j][i] = self.__vectors[j + 1][i + 1]return Matrix(array)def dodgson_condensation(self):n = len(self.__vectors)array = [[0 for _ in range(n - 1)] for _ in range(n - 1)]for i in range(0, n - 1):for j in range(0, n - 1):# 每个元素是2x2矩阵的行列式m = Matrix([[self.__vectors[i][j], self.__vectors[i][j + 1]],[self.__vectors[i + 1][j], self.__vectors[i + 1][j + 1]]])array[i][j] = m.determinant2x2()return Matrix(array)def dodgson(self, b=None):n = len(self.__vectors)if n == 1:return self.__vectors[0][0]if n == 2 and b is None:return self.determinant2x2()s = self.interior()if b is None:b = self.dodgson_condensation()c = b.dodgson_condensation()d = c.divide_elements(s)if len(d.__vectors) == 1:return d.dodgson()return b.dodgson(d)def determinant2x2(self):return self.__vectors[0][0] * self.__vectors[1][1] - self.__vectors[0][1] * self.__vectors[1][0]def divide_elements(self, other):array = copy.deepcopy(self.__vectors)for i, vector in enumerate(array):for j, e in enumerate(vector):vector[j] = vector[j] / other.__vectors[i][j]return Matrix(array)