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曲面的存在性问题

有这样一类问题：
给定曲面的第一、第二基本形式，问是否存在相应的曲面。

这是曲面的存在性问题。

曲面的存在性定理

关于这个问题最好的结论被称为曲面的存在性定理：两个满足Gauss-Codazzi方程的二次微分形式在局部定义一张正则参数曲面。

因而问题归结为验证Gauss-Codazzi方程。

例题

问是否有曲面，分别以$\phi$和$\psi$为第一、第二基本形式？

(1) $\phi =$d$u$d$u+$d$v$d$v$, $\psi =$d$u$d$u-$d$v$d$v$

本题的情况都是选择正交曲率线网为参数曲线网的情况

这时的Gauss方程：
$$LN=-\sqrt{EG}((\frac{(\sqrt{E}{)}_v}{\sqrt{G}}{)}_v+(\frac{(\sqrt{G}{)}_u}{\sqrt{E}}{)}_u)$$

和Codazzi方程：

$$\begin{gathered} L_v=H{E}_v, \\ {N}_u=H{G}_u. \end{gathered}$$

都有简单漂亮的形式。

其中$H=\frac{LG+NE}{2EG}=\frac{1}{2}(\frac{L}{E}+\frac{N}{G})$是平均曲率。

验证Gauss方程：

$$-1=0$$

矛盾！故不存在符合要求的曲面。

(2) $\phi =$d$u$d$u+{\cos }^{2}u$d$v$d$v$, $\psi ={\cos }^{2}u$d$u$d$u+$d$v$d$v$

验证Gauss方程：

$${\cos }^{2}u=-\sqrt{G}(\sqrt{G}{)}_{uu}={\cos }^{2}u$$

计算平均曲率：

$$H=\frac{1}{2}({\cos }^{2}u+\frac{1}{{\cos }^{2}u})$$

验证Codazzi方程：

$$\{\begin{array}{c}{L}_{\mathbf{v}}=H{E}_{\mathbf{v}}\\ N_{\mathbf{u}}=H{G}_{\mathbf{u}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}0=0\\ 0=-\sin u\cos u({\cos }^{2}u+\frac{1}{{\cos }^{2}u})\end{array}$$

矛盾！故不存在符合要求的曲面。