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wzjs 2025/9/14 3:50:38

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引言：什么是记忆化搜索

记忆化搜索算法是为优化递归运算而产生的，因为简单的递归实现通常存在严重的效率问题。以斐波那契数列为例，计算 fib(50) 需要约1.5万亿次递归调用！这种指数级的时间复杂度使得简单递归在实际应用中几乎无法使用。记忆化搜索正是为了解决这个问题而诞生的优化技术。

一、记忆化搜索的核心思想

记忆化搜索是一种结合递归算法和缓存机制的优化技术。其核心思想是：存储已计算的结果，避免重复计算相同的子问题。

基本实现步骤：

创建存储结构（数组、哈希表等）保存计算结果
递归调用前检查结果是否已计算
若已计算则直接返回结果
若未计算则正常递归，存储结果后返回

二、斐波那契数列：记忆化搜索的经典示例

#include <iostream>
using namespace std;long long memo[10001]; // 记忆化存储数组long long fib(int n) {if (memo[n]) return memo[n]; // 已计算则直接返回if (n <= 2) return 1; // 基本情况long long res = fib(n - 1) + fib(n - 2); // 递归计算memo[n] = res; // 存储结果return res;
}int main() {int n = 50;cout << "fib(" << n << ") = " << fib(n) << endl;return 0;
}

性能对比：

方法	计算fib(40)时间	时间复杂度
普通递归	~1.3秒	O(2^n)
记忆化搜索	<1毫秒	O(n)

三、扩展练习，w(a,b,c)问题分析

1.问题描述

对于一个递归函数w(a,b,c)
①如果a≤0 or b≤0 or c≤0就返回值1.
②如果a>20 or b>20 or c>20就返回 w(20,20,20)
③如果a<b并且b<c 就返回w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c)
④其它的情况就返回w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1)

输入格式：
输入若干行,以-1,-1,-1表示结束
保证输入的数在[-9223372036854775808,92233720368547758071之间并且是整数。
输出格式：
输出若干行，每一行格式
w(a, b, c)= ans
注意空格。
输入样例：1 1 1
2 2 2
-1 -1 -1

输出样例：w(1,1,1)=2
w(2,2,2)=4

2.问题特点

多重递归调用：每个分支产生3-4个子调用
参数范围大：输入范围[-2^63, 2^63-1]
大量重复计算：如w(15,15,15)会被多次调用
边界条件复杂：需处理负数和超大值

3.记忆化搜索实现w(a,b,c)

#include <iostream>
using namespace std;int memo[21][21][21] = {0}; // 记忆化存储数组int w(long long a, long long b, long long c) {// 边界条件处理if (a <= 0 || b <= 0 || c <= 0) return 1;if (a > 20 || b > 20 || c > 20) return w(20, 20, 20);// 检查是否已计算if (memo[a][b][c]) return memo[a][b][c];// 递归计算int result;if (a < b && b < c)result = w(a, b, c-1) + w(a, b-1, c-1) - w(a, b-1, c);elseresult = w(a-1, b, c) + w(a-1, b-1, c) + w(a-1, b, c-1) - w(a-1, b-1, c-1);// 存储结果memo[a][b][c] = result;return result;
}int main() {long long a, b, c;while (cin >> a >> b >> c) {if (a == -1 && b == -1 && c == -1) break;cout << "w(" << a << ", " << b << ", " << c << ") = " << w(a, b, c) << endl;}return 0;
}

4.关键优化点：

参数范围压缩：通过规则2将>20的参数映射到[0,20]
三维记忆数组：memo[21][21][21]覆盖所有有效组合
边界优先处理：先处理特殊情况避免不必要的递归
记忆化检查：优先返回已计算结果

四、记忆化搜索与动态规划的关系

记忆化搜索常被称为"自顶向下的动态规划"，而传统动态规划是"自底向上"的。

特性	记忆化搜索	动态规划
实现方式	递归+缓存	迭代填表
计算顺序	按需计算	全部计算
空间使用	可能更少	通常固定
代码复杂度	更直观	更系统
适用场景	状态转移复杂	状态转移规则