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推导组合数的递归公式
杨辉三角 = 组合数图谱
🌳递归调用树可视化
代码实现
我们来分析“递归中的 Combination formula 问题”，也就是常说的组合数计算问题
推导组合数的递归公式
什么是组合问题？
组合问题的本质是从 n 个元素中选择 k 个元素，不考虑顺序，有多少种选法。
Step 1： 从一个最简单的事实出发
我们从两个最基本的事实（第一性）出发：
从 0 个数中选 0 个，有 1 种选法：C(0,0)= 1
从 n 个数中选 0 个，或者选 n 个，只有 1 种方式：C(n,0) = C(n,n) = 1
这是我们的边界条件（Base Cases）。
Step 2：构建思维模型：是否包含第 n 个元素？
我们从一个关键思想出发：
从 n 个元素中选 k 个，可以分为两类情况：
-
不选第 n 个元素：从前 n-1 个元素中选 k 个，记作 C(n-1, k)
-
选第 n 个元素：剩下从前 n-1 个元素中选 k-1 个，记作 C(n-1, k-1)
所以，我们得到核心递归关系：
这就是组合数的递归本质 —— 不依赖任何公式推导的、基于逻辑分类讨论的解法。
Step 3： 示例验证：
比如：从 4 个元素中选 2 个：
C(4, 2) = C(3, 2) + C(3, 1)
-
C(3, 2) =从前3个中选2个（不选第4个）
-
C(3,1)= 从前3个中选1个（因为已经选了第4个）
最终两者加起来就是从4个中选2个的方法总数。
🔍这就是递归（recursion）：
-
大问题 C(n,k)
-
分解为两个更小的问题 C(n−1,k) 和 C(n−1,k−1)
-
一直递归下去，最终会到达 base case：C(n,0) 或 C(n,n)
杨辉三角 = 组合数图谱
杨辉三角其实就是组合数的排列。三角形第 n 行的第 k 个数，就是： C(n,k)
Row n → k →11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1
---------------------------------杨辉三角（Pascal's Triangle）
对应数值（左对齐）如下：
n\k → 0 1 2 3 4
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
举例：
即：杨辉三角中每个数都是其左上和右上两个数之和。
🌳递归调用树可视化
我们现在来画出计算C(4,2)的递归调用树，它完美对应杨辉三角的构建过程：
C(4,2)/ \C(3,2) C(3,1)/ \ / \C(2,2) C(2,1) C(2,1) C(2,0)| | | |1 ? ? 1/ \ / \C(1,1) C(1,0) C(1,0) C(1,1)| | | |1 1 1 1
所有底层节点（如 C(2,0), C(2,2), C(1,0), C(1,1)）为 base case（边界条件）。
通过不断向下分解为两个更小的问题，每个组合数都是上层两个的和。
组合公式与递归的几何意义
-
杨辉三角的每一行的数值，都是通过上面两数之和得到；
-
这就意味着，从 n−1 行中，取 k−1 和 k 的值，就能得到 n 行的第 k 个值。
你可以这样理解：
-
C(n, k) 就像在杨辉三角中往下走到第 n 行第 k 个位置；
-
这个点的值由它“上方的两个点”（即 C(n−1,k−1) 和 C(n−1,k)）决定；
所以，组合公式其实是动态构建杨辉三角的路径图。
代码实现
✅ 处理边界条件（base case）
if (k == 0 || k == n)return 1;
思路说明：
-
从 n 个中选 0 个只有 1 种方式：什么都不选；
-
从 n 个中选全部（即 k = n）也只有 1 种方式；
这就是我们的递归终止条件，防止无限递归。
✅ 写递归公式
return combination(n - 1, k - 1) + combination(n - 1, k);
组合的核心递推思想是：
-
选 or 不选当前元素：
-
不选：从前 n−1 个中选 k 个；
-
选了当前：从前 n−1 个中选 k−1个。
-
这正是递归的两个分支。
✅ 完整函数如下
int combination(int n, int k) {if (k == 0 || k == n)return 1;return combination(n - 1, k - 1) + combination(n - 1, k);
}
完整代码
#include <iostream>
using namespace std;int combination(int n, int k) {if (k == 0 || k == n)return 1;return combination(n - 1, k - 1) + combination(n - 1, k);
}int main() {cout << combination(5, 2) << endl; // 输出 10return 0;
}