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• 🙋‍♂️ 作者：海码007
• 📜 专栏：算法专栏
• 💥 标题：【Hot100】41. 缺失的第一个正数
• ❣️ 寄语：书到用时方恨少，事非经过不知难！

引言

没想到满足要求的解题方法。
想到了两种方法，一种时间复杂度较高，一种空间复杂度较高。
方法一：对数组进行排序，时间复杂度O(nlogn)，然后遍历排序后的数组，跳过负数和0值，然后判断第一个遇到的正值是否是1，如果不是1，则输出1作为结果，如果是1继续往后遍历是否是2 3 4 5 。并输出结果。

方法二：首先遍历一遍数组找出最大值。然后创建一个这个大小的辅助数组，用于记录正数是否出现。如data[i]标识i+1的数值是否出现，通过再遍历一次数组来填充。
填充完后，遍历辅助数组，找出第一个为0值的索引。这个就是结果。

缺失的第一个正数

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初始理解问题

首先，我们需要明确题目要求：

1. 未排序的整数数组 nums：数组中的数字是任意排列的，可能有正数、负数或零。
2. 找出没有出现的最小的正整数：即从1开始，第一个不在数组中的正整数。
3. 时间复杂度 O(n)：意味着我们需要在线性时间内解决问题，不能有嵌套循环等导致更高时间复杂度的操作。
4. 常数级别的额外空间：即我们不能使用与输入规模相关的额外空间，例如不能使用另一个与nums大小相同的数组。

方法一分析：排序后遍历

思路：

1. 对数组进行排序（O(n log n)）。
2. 遍历排序后的数组，跳过非正数。
3. 从1开始检查，找到第一个缺失的正整数。

问题：

• 排序的时间复杂度是O(n log n)，不满足题目要求的O(n)。
• 空间复杂度取决于排序算法，如果是原地排序（如堆排序），可以是O(1)，但时间不满足。

结论：
不满足时间复杂度要求。

方法二分析：辅助数组

思路：

1. 遍历数组找到最大值max。
2. 创建一个大小为max的辅助数组（或哈希表），初始化为0。
3. 再次遍历原数组，对于每个正数，标记辅助数组对应位置为1。
4. 遍历辅助数组，找到第一个为0的位置，即缺失的最小正整数。

问题：

• 如果数组中的最大值非常大（如1, 2, 1000000），辅助数组的大小会非常大，空间复杂度为O(max)，不是常数空间。
• 如果数组中所有数都是负数或零，辅助数组大小为0，但缺失的最小正整数是1。

结论：
不满足空间复杂度要求。

寻找满足条件的解法

我们需要一个时间复杂度O(n)且空间复杂度O(1)的算法。考虑到数组本身可以用于存储信息，可以尝试“原地哈希”或“索引标记”的方法。

关键观察：

• 缺失的最小正整数一定在1到n+1之间（n为数组长度）。因为如果数组包含了1到n的所有数字，那么缺失的是n+1；否则缺失的数字在1到n之间。
• 因此，我们可以忽略所有大于n的数字和负数，因为它们不影响1到n的缺失判断。

算法步骤：

1. 第一次遍历：将所有非正数（<=0）和大于n的数替换为n+1。这样数组中所有数字都是正数且在“有效范围”内（1到n+1）。
2. 第二次遍历：对于每个数字的绝对值num，如果num <= n，将nums[num - 1]标记为负数（表示数字num存在）。这里用索引0表示1，索引1表示2，以此类推。
3. 第三次遍历：遍历数组，找到第一个正数的位置i，表示i+1这个数字缺失。如果所有位置都是负数，则缺失的是n+1。

例子：
nums = [3, 4, -1, 1]

1. 替换非正数和大于n的数：n=4，将-1替换为5 -> [3, 4, 5, 1]
2. 标记：
   • num=3 -> nums[2]=5 -> 取绝对值后还是5 >4，不标记。
   • num=4 -> nums[3]=1 -> 取绝对值后1 <=4，nums[3] = -1。
   • num=5 -> 不标记。
   • num=1 -> nums[0]=3 -> nums[0] = -3。
     现在数组：[-3, 4, 5, -1]
3. 找到第一个正数：nums[1]=4 >0，所以缺失的是i+1=2。

代码实现

int firstMissingPositive(vector<int>& nums) {int n = nums.size();// Step 1: Replace all non-positive and numbers > n with n+1for (int i = 0; i < n; ++i) {if (nums[i] <= 0 || nums[i] > n) {nums[i] = n + 1;}}// Step 2: Use index marking to indicate presence of numbersfor (int i = 0; i < n; ++i) {int num = abs(nums[i]);if (num <= n) {nums[num - 1] = -abs(nums[num - 1]);}}// Step 3: Find the first positive indexfor (int i = 0; i < n; ++i) {if (nums[i] > 0) {return i + 1;}}// If all numbers from 1 to n are present, return n+1return n + 1;
}

验证例子

nums = [3, 4, -1, 1]

1. 替换后：[3, 4, 5, 1]
2. 标记：
   • num=3 -> nums[2]=5 -> 不标记。
   • num=4 -> nums[3]=1 -> nums[3] = -1。
   • num=5 -> 不标记。
   • num=1 -> nums[0]=3 -> nums[0] = -3。
     数组：[-3, 4, 5, -1]
3. 第一个正数：nums[1]=4 -> 返回2。

复杂度分析

• 时间复杂度：三次遍历，每次O(n)，总计O(n)。
• 空间复杂度：只使用了常数额外空间（几个变量），没有使用与n相关的额外数据结构。