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wzjs 2025/9/13 8:50:11

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马尔可夫链模型（Markov Chain Model，又称马氏链）是概率论和统计学中的一种随机过程模型，它以“无记忆性（Markov性）”为核心假设，广泛应用于自然语言处理、金融建模、信号处理、机器人导航等众多领域。

一、基本概念与定义

1.1 马尔可夫性质（Markov Property）

马尔可夫链是满足以下性质的随机过程：

未来状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关。

数学表达为：

$P(X_{n+1} = x \mid X_n = x_n, X_{n-1} = x_{n-1}, ..., X_0 = x_0) = P(X_{n+1} = x \mid X_n = x_n)$

其中， $X_n$ 是在时间 $n$ 的状态。

1.2 状态空间（State Space）

有限状态空间：例如天气模型：{晴天，阴天，雨天}
无限状态空间：如整数集合，连续空间（如位置）

1.3 转移概率（Transition Probability）

一个马氏链由转移概率矩阵定义：

$\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \dots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \dots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \dots & p_{nn} \end{bmatrix}$

其中 $p_{ij} = P(X_{t+1} = j \mid X_t = i)$ ，满足：

$p_{ij} \geq 0$
$\sum_{j} p_{ij} = 1$

1.4 初始分布（Initial Distribution）

起始时刻的状态分布，记为 $\pi_0$ ，如：

$\pi_0 = [\pi_1, \pi_2, ..., \pi_n], \quad \sum_i \pi_i = 1$

二、马氏链的基本性质

名称	定义与说明
遍历性（Ergodicity）	所有状态都可以在有限步内到达，且长期统计概率存在
吸收状态（Absorbing State）	一旦进入该状态，便无法再离开（如状态 i 满足 $p_{ii} = 1$ ）
稳态分布（Stationary Distribution）	分布 $\pi$ 满足 $\pi = \pi P$ ，表示长期平均状态分布
周期性（Periodicity）	状态的返回间隔有周期，例如只能每两步回到自身
瞬时性/常返性（Transient/Recurrent）	是否会无限次返回一个状态

三、分类与性质

3.1 齐次 vs 非齐次

齐次马氏链：转移概率矩阵 $P$ 不随时间变化。
非齐次马氏链： $P_t$ 随时间变化。

3.2 可达性与通信类

可达：若存在 $n$ 使得 $P^{(n)}(i, j) > 0$ ，则称 $s_j$ 从 $s_i$ 可达。
通信类：若 $s_i$ 与 $s_j$ 互相可达，则它们属于同一通信类。

3.3 常返与瞬时状态

常返状态：从该状态出发，几乎必然能返回自身。
瞬时状态：存在返回失败的概率。

3.4 正则马氏链

存在整数 $k$ ，使得所有元素 $P^k > 0$ ，称该链为正则马氏链，平稳分布存在且唯一。

四、实际应用举例

4.1 自然语言处理（NLP）

❖ 语言模型

在 unigram / bigram 模型中，假设一个词只依赖前一个词（即一阶马尔可夫）：

$P(w_1, w_2, ..., w_n) \approx P(w_1) \cdot P(w_2|w_1) \cdot P(w_3|w_2) \cdot \dots$

常用于拼写校正、自动补全等。

4.2 隐马尔可夫模型（HMM）

在 HMM 中，状态不可见，但能观察到由状态生成的观测值。常用于：

语音识别
POS 词性标注
生物序列分析（如 DNA）

4.3 金融建模

马氏链可用于建模市场状态变换，例如：

股票市场：牛市、熊市、中性市场
利率变化、信用评级迁移（信用评分模型）

4.4 机器人路径规划

在 SLAM 或导航中，马尔可夫定位（Markov Localization）使用概率分布表示机器人在地图中的位置变化。

4.5 图像处理 & 生成

基于马氏链的纹理合成
图像分割中的图模型（如 Markov Random Field）

五、简单案例：天气马尔可夫链

设状态集合为：

S = {晴 (sunny), 阴 (cloudy), 雨 (rain)}

转移概率矩阵为：

$\begin{bmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\ 0.3 & 0.4 & 0.3 \\ 0.2 & 0.3 & 0.5 \end{bmatrix}$

若初始天气为晴，求第 2 天为雨的概率。

步骤：

初始分布： $\pi_0 = [1, 0, 0]$
一天后： $\pi_1 = \pi_0 P = [0.7, 0.2, 0.1]$
第二天： $\pi_2 = \pi_1 P$

最终取 $\pi_2[雨]$ 为所求概率。

️ 六、Python 简单实现

import numpy as npP = np.array([[0.7, 0.2, 0.1],[0.3, 0.4, 0.3],[0.2, 0.3, 0.5]
])pi0 = np.array([1.0, 0.0, 0.0])  # 初始为“晴”
pi1 = pi0 @ P
pi2 = pi1 @ Pprint(f"第二天是雨的概率: {pi2[2]:.4f}")