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复变函数中的正弦函数：解析与可视化
复正弦函数简介
复变函数中的正弦函数是实正弦函数在复数域的自然推广，定义为：
sin z = e i z − e − i z 2 i \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} sinz=2ieiz−e−iz
这个定义保持了与实正弦函数的一致性，同时扩展到了整个复平面。
基本性质
- 周期性：复正弦函数仍以2π为周期，即 sin ( z + 2 π ) = sin z \sin(z + 2π) = \sin z sin(z+2π)=sinz
- 解析性：在整个复平面上解析（全纯）
- 无界性：与实正弦函数不同，复正弦函数在复平面上无界
映射特性
复正弦函数具有以下重要映射特性：
- 保角性：作为解析函数，在导数不为零的点处保持角度不变
- 带状区域映射：将带状区域 − π 2 < Re ( z ) < π 2 -\frac{\pi}{2} < \text{Re}(z) < \frac{\pi}{2} −2π<Re(z)<2π 映射到整个复平面除去负实轴和正实轴上绝对值大于1的部分
- 零点分布：零点仅出现在实轴上，即 z = n π z = n\pi z=nπ（n为整数）
MATLAB可视化演示
% 定义复平面网格
[x,y] = meshgrid(linspace(-pi,pi,50), linspace(-2,2,50));
z = x + 1i*y;% 计算复正弦函数
w = sin(z);% 绘制原像网格
figure;
subplot(1,2,1);
mesh(x,y,zeros(size(x)),'EdgeColor','b');
title('z-平面 (定义域)');
xlabel('Re(z)'); ylabel('Im(z)');
view(2); axis equal;% 绘制映射结果
subplot(1,2,2);
mesh(real(w),imag(w),zeros(size(w)),'EdgeColor','r');
title('w-平面 (像域，w = sin(z))');
xlabel('Re(w)'); ylabel('Im(w)');
view(2); axis equal;
这段MATLAB代码展示了复正弦函数如何将复平面上的矩形网格映射到另一复平面。蓝色网格表示定义域，红色网格表示经过正弦函数映射后的像域。
运行结果：
结论
复正弦函数将实正弦函数的性质优雅地扩展到了复数域，同时展现出更丰富的映射特性。通过MATLAB可视化，我们可以直观地观察这些特性，这对于理解复变函数的几何意义非常有帮助。