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wzjs 2025/7/25 10:13:38

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掌握“分而治之”的算法哲学！今日系统解析分治算法的核心思想与实战应用，覆盖排序优化、数学计算、几何问题等高频场景，彻底理解“分解-解决-合并”的算法范式。

一、分治算法核心思想

分治算法（Divide and Conquer） 是一种将复杂问题分解为相似子问题的算法范式，核心步骤：

分解（Divide）：将原问题划分为多个子问题

解决（Conquer）：递归解决子问题（若子问题足够小则直接求解）

合并（Combine）：将子问题的解合并为原问题的解

适用场景：

子问题相互独立且与原问题形式相同
合并操作的复杂度低于直接求解原问题
典型应用：归并排序、快速排序、矩阵乘法优化

二、分治算法模板（C++）

通用模板结构

Result divideConquer(Problem problem) {if (problem is trivial) return solveDirectly(problem);// 分解为子问题SubProblem sub1 = split(problem);SubProblem sub2 = split(problem);// 递归解决子问题Result res1 = divideConquer(sub1);Result res2 = divideConquer(sub2);// 合并结果return merge(res1, res2);
}

关键特性：

递归终止条件：定义最小子问题的处理方式
分解策略：决定如何分割问题（均匀分割/按特征分割）
合并逻辑：影响最终时间复杂度的重要因素

三、四大经典应用场景

场景1：归并排序（时间复杂度O(n log n)）

void mergeSort(vector<int>& nums, int l, int r) {if (l >= r) return;int mid = l + (r - l)/2;mergeSort(nums, l, mid);    // 分解左半mergeSort(nums, mid+1, r);  // 分解右半merge(nums, l, mid, r);     // 合并有序数组
}void merge(vector<int>& nums, int l, int mid, int r) {vector<int> tmp(r-l+1);int i = l, j = mid+1, k = 0;while (i <= mid && j <= r) {tmp[k++] = nums[i] < nums[j] ? nums[i++] : nums[j++];}while (i <= mid) tmp[k++] = nums[i++];while (j <= r) tmp[k++] = nums[j++];for (int m = 0; m < tmp.size(); ++m) {nums[l + m] = tmp[m];}
}

场景2：快速幂算法（LeetCode 50）

double myPow(double x, int n) {if (n == 0) return 1.0;long long N = n;if (N < 0) { x = 1/x; N = -N; }return fastPow(x, N);
}double fastPow(double x, long long n) {if (n == 0) return 1.0;double half = fastPow(x, n/2);if (n % 2 == 0) return half * half;else return half * half * x;
}

场景3：多数元素（LeetCode 169）

int majorityElement(vector<int>& nums) {return divide(nums, 0, nums.size()-1);
}int divide(vector<int>& nums, int l, int r) {if (l == r) return nums[l];int mid = l + (r-l)/2;int left = divide(nums, l, mid);int right = divide(nums, mid+1, r);if (left == right) return left;int cntLeft = count(nums, l, r, left);int cntRight = count(nums, l, r, right);return cntLeft > cntRight ? left : right;
}int count(vector<int>& nums, int l, int r, int target) {int cnt = 0;for (int i=l; i<=r; ++i) {if (nums[i] == target) cnt++;}return cnt;
}

场景4：最近点对问题（进阶几何问题）

struct Point { double x, y; };bool compareX(const Point& a, const Point& b) { return a.x < b.x; }
bool compareY(const Point& a, const Point& b) { return a.y < b.y; }double closestPair(vector<Point>& points) {sort(points.begin(), points.end(), compareX);return divide(points, 0, points.size()-1);
}double divide(vector<Point>& points, int l, int r) {if (r - l <= 3) return bruteForce(points, l, r);int mid = l + (r-l)/2;double dl = divide(points, l, mid);double dr = divide(points, mid+1, r);double d = min(dl, dr);vector<Point> strip;for (int i=l; i<=r; ++i) {if (abs(points[i].x - points[mid].x) < d)strip.push_back(points[i]);}sort(strip.begin(), strip.end(), compareY);for (int i=0; i<strip.size(); ++i) {for (int j=i+1; j<strip.size() && (strip[j].y - strip[i].y) < d; ++j) {d = min(d, distance(strip[i], strip[j]));}}return d;
}

四、分治算法复杂度分析

问题类型	递推公式	时间复杂度	示例
归并排序	T(n) = 2T(n/2) + O(n)	O(n log n)	排序、逆序对计数
快速幂	T(n) = T(n/2) + O(1)	O(log n)	幂运算、斐波那契
最近点对	T(n) = 2T(n/2) + O(n)	O(n log n)	几何计算
二分搜索	T(n) = T(n/2) + O(1)	O(log n)	有序数组查找

五、大厂真题实战

真题1：数组中的逆序对（剑指 Offer 51）

分治解法（归并排序优化）：

int reversePairs(vector<int>& nums) {vector<int> tmp(nums.size());return mergeSort(nums, tmp, 0, nums.size()-1);
}int mergeSort(vector<int>& nums, vector<int>& tmp, int l, int r) {if (l >= r) return 0;int mid = l + (r-l)/2;int count = mergeSort(nums, tmp, l, mid) + mergeSort(nums, tmp, mid+1, r);int i = l, j = mid+1, pos = l;while (i <= mid && j <= r) {if (nums[i] <= nums[j]) {tmp[pos++] = nums[i++];} else {count += mid - i + 1; // 统计逆序对tmp[pos++] = nums[j++];}}while (i <= mid) tmp[pos++] = nums[i++];while (j <= r) tmp[pos++] = nums[j++];copy(tmp.begin()+l, tmp.begin()+r+1, nums.begin()+l);return count;
}

真题2：最大子序和（LeetCode 53）

分治解法：

int maxSubArray(vector<int>& nums) {return divide(nums, 0, nums.size()-1).maxSum;
}struct Status {int lSum, rSum, mSum, tSum;
};Status divide(vector<int>& nums, int l, int r) {if (l == r) return {nums[l], nums[l], nums[l], nums[l]};int mid = l + (r-l)/2;Status left = divide(nums, l, mid);Status right = divide(nums, mid+1, r);int tSum = left.tSum + right.tSum;int lSum = max(left.lSum, left.tSum + right.lSum);int rSum = max(right.rSum, right.tSum + left.rSum);int mSum = max({left.mSum, right.mSum, left.rSum + right.lSum});return {lSum, rSum, mSum, tSum};
}

六、分治算法优化策略

优化方法	应用场景	优化效果
记忆化	重复子问题	减少重复计算
阈值切换	小子问题直接求解	降低递归开销
并行计算	独立子问题	提升多核利用率
剪枝策略	无效分支提前终止	减少计算量