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wzjs 2025/9/12 10:29:21

代理建设网站,北京网站建设咸宁,深圳做营销网站,网络建设需求3.1 线性回归的概念在现实生活中，许多事情都遵循某种线性关系，比如： 房价 vs 面积：房子的面积越大，价格通常越高。工资 vs 工作经验：工作经验越多，薪资往往更高。汽车油耗 vs 车速&#xff1…

3.1 线性回归的概念

在现实生活中，许多事情都遵循某种线性关系，比如：

房价 vs 面积：房子的面积越大，价格通常越高。
工资 vs 工作经验：工作经验越多，薪资往往更高。
汽车油耗 vs 车速：在一定范围内，车速越快，油耗可能越高。

线性回归（Linear Regression） 是机器学习中最基础的算法之一，它用于研究两个变量之间的线性关系，即一个变量（自变量）如何影响另一个变量（因变量）。

3.2 线性回归的数学直觉

线性回归的核心思想是找到一条最合适的直线，用来预测未知数据。

假设我们要预测房价（价格）与房屋面积（平方英尺）的关系，我们可以绘制一个散点图：

📌 示例：房价 vs 面积

面积（平方英尺）	价格（万元）
500	50
700	75
1000	100
1200	130
1500	160

当我们把数据点画在图上，可能会看到一个趋势：面积越大，房价越高。

1. 线性回归的公式

线性回归试图找到如下直线：
y = mx + b

其中：

( y ) 是预测值（如房价）
( x ) 是输入值（如面积）
( m ) 是斜率，表示面积对房价的影响程度
( b ) 是截距，表示当面积为 0 时，房价的基准值

2. 直觉理解

斜率（m）：如果 ( m ) 很大，表示面积对房价的影响很大（房价涨得快）。
截距（b）：如果 ( b ) 很大，说明即使房子面积很小，房价也不会太低。

我们让计算机来学习这条直线，使得它能最小化误差，即预测值与真实值之间的偏差尽可能小。

3.3 实践案例：预测房价

3.3.1 使用 Python 构建线性回归模型

我们使用 scikit-learn（简称 sklearn）来实现线性回归。sklearn 是 Python 机器学习的标准库，提供了各种算法和数据处理工具。

📌 3.3.2 代码实现

我们使用 sklearn.linear_model.LinearRegression 进行训练，并绘制预测结果。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression# 训练数据：房屋面积（平方英尺）
X = np.array([500, 700, 1000, 1200, 1500]).reshape(-1, 1)  # 需要转换成二维数组
# 目标数据：房价（万元）
y = np.array([50, 75, 100, 130, 160])# 创建线性回归模型
model = LinearRegression()# 训练模型
model.fit(X, y)# 预测房价
X_test = np.array([600, 800, 1100, 1400]).reshape(-1, 1)  # 新面积数据
y_pred = model.predict(X_test)  # 预测房价# 输出预测结果
for i in range(len(X_test)):print(f"面积 {X_test[i][0]} 平方英尺的预测房价：{y_pred[i]:.2f} 万元")# 解决中文显示问题
plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]  # Windows 和 Mac 可能需要不同字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 解决负号显示问题# 绘制训练数据
plt.scatter(X, y, color='blue', label="实际数据")# 绘制预测的线
plt.plot(X, model.predict(X), color='red', label="回归直线")# 添加标题和标签
plt.xlabel("面积（平方英尺）")
plt.ylabel("房价（万元）")
plt.title("线性回归：房价预测")
plt.legend()
plt.show()

📌 3.3.3 代码解析

np.array([...]).reshape(-1, 1)：将数据转换成二维数组（因为 sklearn 需要二维输入）。
LinearRegression().fit(X, y)：用 X（面积）训练模型，使它学习面积与房价的关系。
model.predict(X_test)：用训练好的模型预测新房价。

📌 3.3.4 运行结果

示例预测输出：

面积 600 平方英尺的预测房价：61.37 万元
面积 800 平方英尺的预测房价：83.28 万元
面积 1100 平方英尺的预测房价：116.15 万元
面积 1400 平方英尺的预测房价：149.01 万元

图表显示：

蓝色点：训练数据
红色直线：模型学习到的最优拟合线

3.4 关键难点总结

为什么要转换 X.reshape(-1, 1)？
- 因为 sklearn 要求 X 是二维数组（即 n 行 1 列）。
- 如果 X 是一维数组，需要 .reshape(-1, 1)。
如何衡量模型的好坏？
- model.score(X, y) 返回决定系数（R² 值），接近 1 说明模型拟合较好。
如果数据不符合线性关系怎么办？
- 线性回归适用于线性关系的数据。如果数据是非线性的，应该考虑多项式回归或神经网络。

3.5 课后练习

📌 练习 1：预测汽车价格

数据：

车型	里程（万公里）	价格（万元）
A	1	20
B	3	15
C	5	10
D	7	6
E	9	4

🚀 任务：

用 Python 实现线性回归，预测6 万公里和 8 万公里的汽车价格。

📌 练习 2：不同的数据集，结果会怎样？

修改房价数据，尝试增加/减少数据点，观察预测结果的变化。
思考：数据点少会导致什么问题？（过拟合还是欠拟合？）

3.6 练习讲解

如果你完成了练习 1，代码可能会类似于：

X = np.array([1, 3, 5, 7, 9]).reshape(-1, 1)
y = np.array([20, 15, 10, 6, 4])
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)X_test = np.array([6, 8]).reshape(-1, 1)
y_pred = model.predict(X_test)
print(y_pred)