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洛谷P1092 [NOIP 2004 提高组] 虫食算

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题目描述

所谓虫食算，就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了，需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的数字。来看一个简单的例子：

$$\begin{array}{r}\text{43\#9865\#045}\\ +\text{8468\#6633}\\ \underline{}\\ \text{44445509678}\end{array}$$

其中 # 号代表被虫子啃掉的数字。根据算式，我们很容易判断：第一行的两个数字分别是 $5$ 和 $3$，第二行的数字是 $5$。

现在，我们对问题做两个限制：

首先，我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是 $n$ 进制加法，算式中三个数都有 $n$ 位，允许有前导的 $0$。

其次，虫子把所有的数都啃光了，我们只知道哪些数字是相同的，我们将相同的数字用相同的字母表示，不同的数字用不同的字母表示。如果这个算式是 $n$ 进制的，我们就取英文字母表的前 $n$ 个大写字母来表示这个算式中的 $0$ 到 $n-1$ 这 $n$ 个不同的数字：但是这 $n$ 个字母并不一定顺序地代表 $0$ 到 $n-1$。输入数据保证 $n$ 个字母分别至少出现一次。

$$\begin{array}{r}\text{BADC}\\ +\text{CBDA}\\ \underline{}\\ \text{DCCC}\end{array}$$

上面的算式是一个4进制的算式。很显然，我们只要让 $\text{ABCD}$ 分别代表 $0123$，便可以让这个式子成立了。你的任务是，对于给定的 $n$ 进制加法算式，求出 $n$ 个不同的字母分别代表的数字，使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解。

输入格式

输入的第一行是一个整数 $n$，代表进制数。

第二到第四行，每行有一个由大写字母组成的字符串，分别代表两个加数以及和。这 $3$ 个字符串左右两端都没有空格，从左到右依次代表从高位到低位，并且恰好有 $n$ 位。

输出格式

输出一行 $n$ 个用空格隔开的整数，分别代表 $A,B,\dots$ 代表的数字。

输入输出样例 #1

输入 #1

5
ABCED
BDACE
EBBAA

输出 #1

1 0 3 4 2

说明/提示

数据规模与约定

• 对于 $30\%$ 的数据，保证 $n\le 10$；
• 对于 $50\%$ 的数据，保证 $n\le 15$；
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 26$。

思路详解

完全暴力

看到这个题目的第一眼就想到直接暴力枚举每一个字母所对应的数字，时间复杂度不高，也就$O(N!)$，大概可以得到30分。

暴力剪枝

我们发现我们的暴力思路还有很多可以剪枝的地方：

1. 对于每一次枚举，我们枚举这个字母对应数字，枚举之后判断是否满足等式，这样就可以剪掉很多。
2. 其次是枚举的顺序，我们根据等式从右往左，从上而下的枚举，这个原因等下再说。

那我们的深搜大致如下：

bool dfs(int dp){if(dp==n+1)return 1;//到达终点for(int i=n-1;i>=0;i--){//玄学加速(正跑也一样，只是慢一点)if(vis[i])continue;vis[i]=1;js[q[dp]]=i;if(check()&&dfs(dp+1))return 1;//当前满足等式，且后面都可以vis[i]=0;//回溯js[q[dp]]=-1;}return 0;
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){char x;cin>>x;a[n-i+1]=x;}for(int i=1;i<=n;i++){char x;cin>>x;b[n-i+1]=x;}for(int i=1;i<=n;i++){char x;cin>>x;c[n-i+1]=x;}for(int i=1;i<=n;i++){int qa=a[i]-'A',qb=b[i]-'A',qc=c[i]-'A';if(!vis[qa]){q[++o]=qa;vis[qa]=1;}//从右往左，从上往下if(!vis[qb]){q[++o]=qb;vis[qb]=1;}if(!vis[qc]){q[++o]=qc;vis[qc]=1;}}memset(vis,0,sizeof(vis));//vis[i]=0表示当前数字没被用memset(js,-1,sizeof(js));//js[i]=-1表示当前这个字母没选int flag=dfs(1);for(int i=0;i<n;i++)cout<<js[i]<<' ';//输出答案return 0;
}

check()函数

我们剩下的只有$check()$函数没打了，思考我们已知部分的字母所对应的数字，该如何尽可能排除错误呢？
令上一位进位为$add$。当前一位从上到下分别为$a,b,c$。当$a,b,c,add$均已知的情况下，若$a+b+addmodn\ne c$，那这种状态肯定不行，否则更新$add=(a+b+add)/n$。
若我们不知道$add$，那我们只需枚举$add$($add=1,0$)，判断是否满足即可。对于最高位，还有当$add=0$时都不可进位的条件。
若我们不知$a$或$b$或$c$，那$add$也不知。

bool check(){int add=0;for(int i=1;i<=n;i++){//从低到高int qa=js[a[i]-'A'],qb=js[b[i]-'A'],qc=js[c[i]-'A'];if(qa!=-1&&qb!=-1&&qc!=-1){//a,b,c全知if(add!=-1){//知addif((qa+qb+add)%n!=qc)return 0;//是否满足add=(qa+qb+add)/n;}else {//不知addif((qa+qb)%n!=qc&&(qa+qb+1)%n!=qc)return 0;//是否不可能满足if(i==n&&(qa+qb)>n)return 0;//最高位不进位}}else {add=-1;}//a,b,c不知则不知进位}return 1;
}

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=39;
int n,vis[N],js[N];
char a[N],b[N],c[N];
int q[N],o=0;
bool check(){int add=0;for(int i=1;i<=n;i++){//从低到高int qa=js[a[i]-'A'],qb=js[b[i]-'A'],qc=js[c[i]-'A'];if(qa!=-1&&qb!=-1&&qc!=-1){//a,b,c全知if(add!=-1){//知addif((qa+qb+add)%n!=qc)return 0;//是否满足add=(qa+qb+add)/n;}else {//不知addif((qa+qb)%n!=qc&&(qa+qb+1)%n!=qc)return 0;//是否不可能满足if(i==n&&(qa+qb)>n)return 0;//最高位不进位}}else {add=-1;}//a,b,c不知则不知进位}return 1;
}
bool dfs(int dp){if(dp==n+1)return 1;//到达终点for(int i=n-1;i>=0;i--){//玄学加速(正跑也一样，只是慢一点)if(vis[i])continue;vis[i]=1;js[q[dp]]=i;if(check()&&dfs(dp+1))return 1;//当前满足等式，且后面都可以vis[i]=0;//回溯js[q[dp]]=-1;}return 0;
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){char x;cin>>x;a[n-i+1]=x;}for(int i=1;i<=n;i++){char x;cin>>x;b[n-i+1]=x;}for(int i=1;i<=n;i++){char x;cin>>x;c[n-i+1]=x;}for(int i=1;i<=n;i++){int qa=a[i]-'A',qb=b[i]-'A',qc=c[i]-'A';if(!vis[qa]){q[++o]=qa;vis[qa]=1;}//从右往左，从上往下if(!vis[qb]){q[++o]=qb;vis[qb]=1;}if(!vis[qc]){q[++o]=qc;vis[qc]=1;}}memset(vis,0,sizeof(vis));//vis[i]=0表示当前数字没被用memset(js,-1,sizeof(js));//js[i]=-1表示当前这个字母没选int flag=dfs(1);for(int i=0;i<n;i++)cout<<js[i]<<' ';//输出答案return 0;
}