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从十进制到二进制：深入理解定点数与浮点数表示

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1. 十进制正整数与二进制正整数的“位权”概念

位权的本质：基数与幂次

十进制正整数与二进制正整数均采用位置计数法

十进制是以10为底的幂，逢10进1，其权的大小从低到高依次为：10º(1)、10¹(10)、10²(100) ......二进制是以2为底的幂，逢2进1，其权的大小从低到高依次为：2º(1)、2¹(2)、2²(4) ......

最终表示的数值的本质上是 “基数的幂次加权和” 。

大白话就是：每个数位上的数字与其对应的基数幂次（即“阶”）相乘后累加，得到最终的数值。

十进制示例：(13)₁₀

13 = 1 * 10¹ + 3 * 10⁰↑   ↑      ↑   ↑│   │      │   └── 个位：权重为 10⁰（1）│   │      └───── 数值 3│   └── 十位：权重为 10¹（10）└────── 数值 1

二进制示例：(1101)₂

1101 = 1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰  ↑   ↑    ↑   ↑    ↑   ↑    ↑   ↑ │   │    │   │    │   │    │   └── 最低位（LSB）：权重 2⁰（1）  │   │    │   │    │   │    └────── 数值 1│   │    │   │    │   └── 次低位：权重 2¹（2）  │   │    │   │    └────── 数值 0│   │    │   └── 次高位：权重 2²（4）│   │    └────── 数值 1│   └── 最高位：权重 2³（8）└────── 数值 1

程序员视角：位权与数值范围

• 位权的隐含规则：
  在编程中，数值的每一位权重由存储位置隐式定义。例如，一个8位二进制数(b0~b7编号) b7b6b5b4b3b2b1b0 的值为：
  b7*2⁷ + b6*2⁶ + ... + b0*2⁰

• 数值范围限制：

  • n位十进制正整数范围：0 ~ 10ⁿ - 1
  • n位二进制正整数范围：0 ~ 2ⁿ - 1
    这种限制直接体现在数据类型中（如C语言的uint8_t范围为0~255）。

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1-1. 扩展：负整数的“阶”与补码表示

负整数的二进制表示需引入 符号位，但现代计算机采用 补码（Two’s Complement） 方案，使得加减法统一为加法操作。

补码的本质

• n位补码定义：
  -x = 2ⁿ - x
  例如，8位系统中 -5 的补码为：
  256 - 5 = 251 → 11111011
• 符号位的权重：
  补码的最高位既是符号位，也参与数值计算。
  例如，8位补码 10110111 的值为：
  -1*2⁷ + 0*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = -73

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2. 十进制小数与二进制定点数

定点数格式

• 定点小数：固定小数点位置（如8位格式：iii.fffff）
• 二进制小数转换：
  (0.625)₁₀ = 0.5 + 0.125 = (0.101)₂

转换陷阱

• 精度丢失：
  (0.1)₁₀ → (0.0001100110011...)₂（无限循环）

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3. 十进制与二进制定点数的转换

十进制小数转二进制步骤

1. 整数部分：除2取余

2. 小数部分：乘2取整

   10.625 → 
   整数部分：10 → 1010  
   小数部分：0.625 × 2 = 1.25 → 取1  0.25 × 2 = 0.5 → 取0  0.5 × 2 = 1.0 → 取1  
   结果：1010.101
   

二进制转十进制

1010.101 → 8 + 2 + 0.5 + 0.125 = 10.625

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4. 十进制科学计数法

标准形式

N = (-1)^s × M × 10^E

• s: 符号（0正1负）
• M: 尾数（1 ≤ M < 10）
• E: 阶码

示例：
-123.45 → -1.2345 × 10²

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5. 二进制科学计数法与IEEE 754浮点数

二进制规格化形式

N = (-1)^s × 1.M × 2^E

IEEE 754标准解析

单精度（32位）结构：

| 1位符号 | 8位阶码 | 23位尾数 |

关键特性：

1. 阶码偏移：实际指数 = 阶码 - 127

2. 隐含前导1：尾数存储的是小数点后的部分

3. 特殊值处理：

   • 阶码全0: 非规格化数（隐含0.xxx）
   • 阶码全1: 无穷大/NaN

转换示例（单精度）：

-5.75 →

1. 二进制：-101.11

2. 规格化：-1.0111 × 2²

3. 编码：

   • 符号位：1
   • 阶码：2 + 127 = 129 → 10000001
   • 尾数：0111000…（共23位）

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总结与扩展

• 定点数适合硬件实现但范围有限
• IEEE 754通过科学计数法实现高动态范围
• 浮点数误差根源：二进制无法精确表示某些十进制小数

附：IEEE 754单精度内存布局示例
符号位 | 阶码（8位） | 尾数（23位）1   | 10000001  | 01110000000000000000000