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在卷积网络中，参数为卷积核中权重以及偏置。和全连接前馈网络类似，卷积网络也可以通过误差反向传播算法来进行参数学习。本文我们从数学角度，来学习卷积神经网络梯度的推导和其反向传播算法的原理。

一、梯度：损失函数 L 关于第 𝑙 层的卷积核𝑾 和 偏置B的偏导数

在全连接前馈神经网络中，梯度主要通过每一层的误差项 𝛿 进行反向传播， 并进一步计算每层参数的梯度。

在卷积神经网络中，主要有两种不同功能的神经层:卷积层和汇聚层。而参数为卷积核以及偏置，因此只需要计算卷积层中参数的梯度。

不失一般性，对第 𝑙 层为卷积层，第 𝑙 − 1 层的输入特征映射为 𝒳^(𝑙−1) ∈ R^(𝑀×𝑁×𝐷)，通过卷积计算得到第𝑙层的特征映射净输入𝒵^(𝑙) ∈R^(𝑀′×𝑁′×𝑃)。第𝑙层的第𝑝(1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑃)个特征映射净输入：

其中 𝑾 ^(𝑙,𝑝,𝑑) 和 𝑏^(𝑙,𝑝) 为卷积核以及偏置。第 𝑙 层中共有 𝑃 × 𝐷 个卷积核和 𝑃 个偏 置，可以分别使用链式法则来计算其梯度。

根据卷积的导数计算公式，可以参考：

卷积神经网络 - 卷积的变种、数学性质-CSDN博客

损失函数 L 关于第 𝑙 层的卷积核 𝑾 ^(𝑙,𝑝,𝑑) 的偏导数为：

其中，

为损失函数关于第 𝑙 层的第 𝑝 个特征映射净输入 𝒁(𝑙,𝑝) 的偏导数。

同理可得，损失函数关于第 𝑙 层的第 𝑝 个偏置 𝑏^(𝑙,𝑝) 的偏导数为:

在卷积网络中，每层参数的梯度依赖其所在层的误差项 𝛿^(𝑙,𝑝)。

二、卷积神经网络的反向传播算法

卷积层和汇聚层中误差项的计算有所不同，因此我们分别计算其误差项。

1、汇聚层

当第 𝑙 + 1 层为汇聚层时，因为汇聚层是下采样操作，𝑙 + 1 层的每个神经元的误差项 𝛿 对应于第 𝑙 层的相应特征映射的一个区域。𝑙 层的第 𝑝 个特征映射中的每个神经元都有一条边和 𝑙 + 1 层的第 𝑝 个特征映射中的一个神经元相连。

根据链式法则，第 𝑙 层的一个特征映射的误差项 𝛿^(𝑙,𝑝)，只需要将 𝑙 + 1 层对应特征映射的误差项 𝛿^(𝑙+1,𝑝) 进行上采样操作(和第 𝑙 层的大小一样)，再和 𝑙 层特征映射 的激活值偏导数逐元素相乘，就得到了 𝛿^(𝑙,𝑝)。

这段话比较抽象，大家可以慢慢理解，着重理解前后层之间误差项的关系：

第 𝑙 层的第 𝑝 个特征映射的误差项 𝛿^(𝑙,𝑝) 的具体推导过程如下:

其中 为第 𝑙 层使用的激活函数导数，up 为上采样函数(up sampling)，与汇聚层中使用的下采样操作刚好相反。

如果下采样是最大汇聚，误差项 𝛿^(𝑙+1,𝑝) 中每个值会直接传递到前一层对应区域中的最大值所对应的神经元，该区域中其他神经元的误差项都设为 0。

如果下采样是平均汇聚，误差项 𝛿^(𝑙+1,𝑝) 中每个值会被平均分配到前一层对应区域中的所有神经元上。

2、卷积层

当𝑙 + 1层为卷积层时，假设特征映射净输入𝒵^(𝑙+1) ∈ R^(𝑀′×𝑁′×𝑃)，其中第𝑝(1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑃)个特征映射净输入：

其中𝑾^(𝑙+1,𝑝,𝑑) 和𝑏^(𝑙+1,𝑝) 为第𝑙+1层的卷积核以及偏置。第𝑙+1层中共有𝑃×𝐷 个卷积核和 𝑃 个偏置。

第 𝑙 层的第 𝑑 个特征映射的误差项 𝛿^(𝑙,𝑑) 的具体推导过程如下:

可以看到，第l层的误差项，还是可以通过第l+1层的误差项推导而来，就是所谓的反向传播算法。和前馈全连接神经网络的反向传播算法有所不同，但是思路是类似的，理解这一点很关键。

三、附：卷积神经网络中的上采样和下采样

在卷积神经网络（CNN）中，上采样和下采样是两个关键操作，用于调整特征图的空间尺寸，从而达到提取有用特征和恢复空间分辨率的目的。下面详细解释这两个概念，并举例说明：

1. 下采样（Downsampling）

定义与目的：
下采样主要用于减少特征图的空间尺寸。常见方法有最大池化和平均池化。

• 最大池化：在一个预定义区域内（如2×2），取最大值。
• 平均池化：在该区域内取平均值。

作用：

• 降维和降低计算量：减小后续层输入的尺寸，从而减少参数量和计算量。
• 增强局部不变性：对小幅平移、旋转和尺度变化不敏感，提高特征的鲁棒性。

例子：
假设我们有一张特征图尺寸为 28×28×64（64个通道），使用 2×2 最大池化，步幅为 2。池化操作会把每个2×2区域中的最大值选出，从而将尺寸缩小到 14×14×64。这一步骤使得网络更关注局部最显著的特征，同时降低计算资源消耗。

2. 上采样（Upsampling）

定义与目的：
上采样用于增大特征图的空间尺寸，常见方法包括最近邻插值、双线性插值以及转置卷积（反卷积）。

• 最近邻插值：简单地复制最近的像素值。
• 双线性插值：根据周围像素的线性关系计算新像素值。
• 转置卷积：通过可学习的卷积核将低分辨率特征图“反向”映射到高分辨率空间，同时恢复部分细节信息。

作用：

• 恢复空间细节：例如在语义分割或图像生成任务中，需要将经过下采样后的特征图恢复到与输入图像相同的分辨率，以便对每个像素做出预测或生成高分辨率图像。

例子：
在语义分割任务中，一个常见的网络（如U-Net）首先对输入图像（例如 224×224）经过多层卷积和池化操作进行下采样，最终得到较小的特征图（比如 28×28）。接着，通过上采样（例如转置卷积）将这些特征图逐步恢复到原始尺寸224×224，以便为每个像素分配一个类别标签。上采样过程中，网络不仅简单放大图像，还通过学习对细节进行重建，从而生成更精细的分割结果。

3. 综合说明

• 下采样：
  将输入特征图通过池化操作等方式缩小尺寸，提取局部最重要的特征，同时降低计算量。
  例子：从 28×28×64 的特征图通过2×2最大池化变为 14×14×64。

• 上采样：
  将下采样后的特征图通过插值或转置卷积等方法放大，还原出细节和空间信息。
  例子：在语义分割中，将 28×28×F 的特征图逐步上采样到 224×224，最终得到与原图大小一致的分割图。

这两个操作在网络中通常处于对称结构中（例如编码器-解码器结构）：编码器部分通过下采样提取抽象特征，解码器部分通过上采样恢复空间分辨率，最终实现像素级的预测或图像生成。