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引言
1 CA-Polar 码
2 PC-Polar 码
3 DCRC-Polar 码
4 各种级联方案的性能对比
引言
为进一步提升 Polar 码的纠错性能，学者们提出了级联 Polar 码，其利用 校验比特 可有效地辅助列表译码算法从候选路径中筛选出更可靠的估计输出。下图 “级联 Polar 码系统框图 ”中展示出了级联 Polar 码的系统框图，信息比特 d 先送入外码编码器产生校验比特 d ′ ，其在与信息比特 d 交织后一起送入 Polar 编码器。 假设信息比特长度为 K，校验比特长度为 J，对于码长为 N 的 Polar 码，其非冻结比特个数为 K + J，但码率依然为R = K/N。
根据校验比特放置的位置 ( 对应不同的比特交织器 ) ，级联 Polar 码可大致分为两类，如图 所示：
- 一类为校验比特附加在信息比特后面，也称为系统性的级联码，如循环冗余校验 CRC 辅助的 Polar 码 （CA-Polar)；
- 另一类为校验比特散布在信息比特中，且满足每个校验比特位置在参与校验的所有信息比特位置之后，如基于奇偶校验码级联的 Polar 码(PC-Polar)，以及分布式 CRC 级联 Polar 码 (DCRC-Polar)。
下面我们来简单介绍上述级联码方案，这些方案以及基于 hash 函数级联的方案 (Hash-Polar) 均参与到 5G eMBB 控制信道场景中 Polar码标准方案的竞争。
1 CA-Polar 码
如上面的图(a) 所示，校验比特 d ′ 在 CA-Polar 码中全部放置在信息比特 d 的后面，具体操作为：
• 将信息比特 d 送入 CRC 编码器产生 J 比特校验 d ′ ，下表中给出了常用的 J 比特 CRC 对应的生成多项式；
• 根据构造方法，找到 K + J ( K + J<N ) 个可靠的位置，即索引集合 A ，并按 可靠度由高到低的顺序排列；
• 先放置信息比特 d ，即放置在可靠度最高的 K 个位置上，再放置校验比特 d ′ ， 即放置在可靠度次高的 J 个位置上，其余 N − ( K + J ) 个位置放置冻结比特。
在译码端， SCL 译码器将信息比特与校验比特均视为未知对其进行译码。假设在对所有非冻结比特译码完成后，存在 L 条候选路径，此时每条候选路径 l 中都有估计的 K 比特信息 d ˆ 和 J 比特校验 d ˆ ′ 。将 L 条候选路径根据可靠度由高到低排列后，对估计的 ( d ˆ , d ˆ ′ ) 依次进行 CRC 校验，若校验结果为 0 ，则输出该路径；否则一直依次进行 CRC 校验，直到找到校验结果为 0 的路径。若校验完所有 L 条候选路径，校验结果均不为 0 ，此时输出可靠度最高的候选路径。
2 PC-Polar 码
图“级联 Polar 码结构图 ”(b) 所示：
- 根据构造方法，找到 K 个可靠的位置，即索引集合 A，并按可靠度由高到低的顺序排列，同时计算该顺序下相应的行重，记最小行重为 Wr，其个数为 t；
- 计算初始 PC 校验比特数，即 J′ = ⌈log2(N × K)/2⌉。①若 n<J′ ，选取 (J′ + t)/2 个行重为 Wr 的比特信道和 (J′ + t)/2 个行重为 2Wr 的比特信道作为 PC 校验比特位；②若 t ≥ J′ ，选取 J′ 个行重为 Wr 的比特信道作为 PC 校验比特位。
- 根据上述规则确定初始 PC 校验比特位置，将其索引集合记为 T ，再从剩下的位置索引集合 T c 中选取可靠度最高的 K 个位置记为集合 A，该集合即为信息位置索引集合，这些位置将用来传输信息。随后，我们更新校验比特位置索引集合，即从除去索引集合 T 和 A 剩下的位置索引中找到其对应的行重与原索引集合 T 中 PC 校验比特位具有相同行重的索引位置，并将其放入索引集合 T 形成新的 PC 校验比特位索引集合。此时我们记新的 PC 校验比特位索引集合大小为 J，即总共 PC 校验个数为 J。
PC 校验比特的位置确定之后，每一校验位都对应一个奇偶校验方程，且其仅仅校验在该校验位之前的那些比特，即给定一个质数 p ，对于第 i 个 PC 校验比特 
，其仅仅校验位于 
之前且与 
相距 p 整数倍距离的信息比特。下图 给出了 p = 3时的一个例子，其中 F 表示冻结位， d i 表示信息位。在该例子中 
，以及 
。
，其仅仅校验位于 之前且与 相距 p 整数倍距离的信息比特。下图 给出了 p = 3时的一个例子，其中 F 表示冻结位， d i 表示信息位。在该例子中 ，以及 。
在译码端，与 CA-Polar 码不同， SCL 译码器仅将信息比特视为未知对其进行译码，而校验比特视为一种动态冻结比特，即根据当前路径上该校验位之前的信息比特估计和已知的校验关系计算出当前校验位数值。因此与 CRC 类校验结构不同， PC校验比特是通过不断实时校验检测以突出正确候选路径来改善 SCL 译码算法，值得注意的是其译码器一直以可靠度最高的候选路径为输出。
3 DCRC-Polar 码
图“级联 Polar 码结构图 ”(b) 所示， DCRC-Polar 码同 PC-Polar 码一样：
为：
• 将信息 d 送入 CRC 编码器，产生码字 v A = ( d , d ′ ) ，其中 d ′ 为校验比特；
• 将 CRC 生成多项式转化为矩阵形式，并根据 CRC 生成矩阵及信息长度产生交织图样 (pattern) ；
• 交织器重新排列码字比特 v A ，使得参与该位校验比特的信息比特位于该校验位之前，此时形成新的码字比特 u A ，其中散布在 d 中的 d ′ 称为 DCRC 校验比特；
• 经交织器的比特序列 u A 按自然顺序依次放入 Polar 码的非冻结位。
下面给出当 K = 11 ， J = 8 时， DCRC 校验比特产生的例子。
值得注意，交织图样不唯一，但是对于相同 CRC 生成多项式，不同信息比特长度下的 CRC 生成矩阵具有嵌套关系，因此根据最大信息比特 K max 长度设计的交织图样可以得到任意信息比特长度 K ≤ K max 对应的交织图样。在译码端， SCL 译码将信息比特与校验比特均视为未知对其进行译码。每译完一次 CRC 校验位都需进行校验，不通过该比特校验的路径将被标记为校验失败，若译出的 L 条候选路径都被标记为失败，则可以提前终止译码。
4 各种级联方案的性能对比
图 “级联方案性能对比 ”中展示了 PC-Polar ， CRC-Polar 以及 DCRC-Polar 在 N = 256 ， R = 1 / 2 时的性能对比，其中为更公平的比较，采用了不依赖于构造信噪比的 PW 构造。所有 Polar 码均采用 L = 8 的 SCL 译码算法。对于 PC-Polar 码其校验方程质数为 5 ，CRC-8 和 CRC-16 均考虑在 CRC-Polar 中， DCRC-Polar 仅考虑了 8 比特 CRC。从图 “级联方案性能对比 ”中可以看出，CRC-Polar 以及 DCRC-Polar 具有相似的性能，而 PC-Polar 码在该码长下不如 8 比特级联的 CRC-Polar 和 DCRC-Polar 。
