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不使用sqrt函数情况下求平方根整数部分

本篇文章是对Leetcode 69题目进行记录

现在提供以下两种思路：

1. 暴力求解
2. 二分查找

以下我们将对这两种算法进行记录，原题链接：
Leetcode 69.x的平方根

暴力求解

几乎所有的题，我们第一时间都想到的是能不能暴力求解，先不管时间复杂度的要求。当然这题是没有要求的，我们可以先试着写一下暴力求解的思路。

解题思路

因为只需要求的是整数x(int 类型)的平方根的整数部分，使用暴力求解是非常简单的。定义int i = 1;只需要让i从1开始遍历到x，i²只要小于等于x就继续往下走，直到大于的时候返回i - 1这个值即可。思路十分简单。

代码实现

int的上溢出风险

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if (!x)return x;int sqrtx = 1;//专门用来接收平方根的整数部分for (int i = 1; i <= x; i++) {if (i * i <= x)sqrtx = i;elsebreak;}return sqrtx;}
};

很多人会不假思索地写出这么一段代码。但是忽略了一个问题就是上溢出的风险。

对于int类型，其实是unsigned int类型，是有符号整形，最大值应该是2³¹ - 1 = 2147483647才对。当i从1开始遍历，一开始i比较小，那么i²的值肯定是可以用int接收的(本身i * i都是int类型，算出来也是int类型)。

但是我们尝试着跑一下这个代码：

执行是出错的，看到错误原因是当i = 46341的时候，i * i的值是无法作为int类型数据和比较的，所以得进行修改代码。

利用不等式性质调整边界

通过计算器计算得知：46431 * 46431 = 2155837761是大于int类型数据的最大值的。也就是说，对于x来讲，无论多大，只要是再int范围内，最多i只需要遍历到46431就会停下，只不过这个时候会导致上溢出风险。

我们学过不等式：

if a < b
then a * c < b * c (c != 0)

既然只有i = 46431的时候会导致平方越界，那么两边同时乘一个0.5不就好了，这样子还会把计算后的结构类型提升到double类型，就可以比较了，一定不会越界：

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if (!x)return x;int sqrtx = 1;//专门用来接收平方根的整数部分for (int i = 1; i <= 0.5 * x; i++) {if (0.5 * i * i <= 0.5 * x)sqrtx = i;elsebreak;}return sqrtx;}
};

强制类型转换到更长字节的整形

这个前提是题目没有要求说题目中不给使用64位的整形数据。

既然int比较不了，那直接类型提升到long long不就可以了吗？

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if (!x)return x;int sqrtx = 1;for (int i = 1; i <= 0.5 * x; i++) {if ((long long)i * i <= x)sqrtx = i;elsebreak;}return sqrtx;}
};

时间复杂度和空间复杂度

我们看看经过修改后的代码(调整边界方法时间和这个差不多)

时间复杂度为O(LogX)，其实很好理解，如果x比较大，那么跑的次数会非常接近刚刚的那个数46431，其实也就是x的平方根整数部分，那效率还是比较低的。

空间复杂度为O(1)，因为该算法没有另外开辟空间。

二分查找

既然暴力求解是从1开始找到x，那么就是在一个有序的序列上找一个确定的数，那么我们可以尝试一下使用二分查找。

算法思路

我们可以尝试一下二分查找。刚刚我们也知道int类型数据内找平方根最大也就到46431就会越界，所以我们可以控制一下查找的范围，就定在1~50000即可。

二分查找就是在1~50000中查找：
定义一个变量上界为int up ，下届为int down。设中间数为int mid。

让mid = (up + down) / 2。开始查找：
如果当前mid * mid的值和x相同，那就返回 mid这个值。
如果小于就让mid为下界，即赋值给down，重新计算mid
如果大于就让mid为上界，即赋值给up，重新计算mid

但是不是所有的数都能找到整数平方根，但是二分查找会不断压缩直到只有一个数，此时mid的值和down是一样的，那就直接停止循环即可。

但是每个数字都从50000开始为上界还是太慢了。就比如我要找10的平方根，从10开始找才是更快的，从50000开始为上界那就不太行了。但是int所有类型的数据最大的平方根也不超过50000，所以我们做一个规定，如果传入的x小于等于50000，就让上界为x，反之为50000。

我们以60作为例子：

很明显，这个思路是可行的。现在还有一个问题就是对于0这个数是否也能用这个逻辑呢？

如果x == 0，上界为0，下界为1，那么中间数就是0。然后当前中间数偏小，就让0为下届，原本的上界0仍是上界，再计算此时的mid也是0。还是偏小。但是此时mid和down的值相同，直接退出循环就可以了。所以也是可以成功的。

代码实现

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {// 此时mid大约为2.9wint up = (x <= 50000) ? x : 50000, down = 1;int mid = (up + down) / 2;while (mid != down) {// 乘0.5是防止越界int的范围if (0.5 * mid * mid == 0.5 * x)return mid;else if (0.5 * mid * mid > 0.5 * x)up = mid;elsedown = mid;mid = (up + down) / 2;}return mid;}
};

当然还是需要注意上溢出风险的。具体处理方法可以参照上个部分讲的两种解决方案。

时间复杂度和空间复杂度

很明显空间复杂度仍是O(1)，因为没有另外开辟空间进行操作。
时间复杂度仍为O(LogX)，这个看着和上面那个算法的O(LogX)好像没什么区别，实则不然。

虽然二者查找次数均为LogX次，但是也是有区别的。特别数字比较大的时候。当数字较大，暴力查找是要从1到x的平方根跑满的，而二分查找却不用那么多次。

就比如找90000的平方根，暴力查找要找300次，而二分查找只需要14次(大致计算)，这个效率差是非常大的。