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信奥赛CSP-J复赛集训（DP专题）（37）：P4170 [CQOI2007] 涂色

题目描述

假设你有一条长度为 $5$ 的木板，初始时没有涂过任何颜色。你希望把它的 $5$ 个单位长度分别涂上红、绿、蓝、绿、红色，用一个长度为 $5$ 的字符串表示这个目标：$\text{RGBGR}$。

每次你可以把一段连续的木板涂成一个给定的颜色，后涂的颜色覆盖先涂的颜色。例如第一次把木板涂成 $\text{RRRRR}$，第二次涂成 $\text{RGGGR}$，第三次涂成 $\text{RGBGR}$，达到目标。

用尽量少的涂色次数达到目标。

输入格式

输入仅一行，包含一个长度为 $n$ 的字符串，即涂色目标。字符串中的每个字符都是一个大写字母，不同的字母代表不同颜色，相同的字母代表相同颜色。

输出格式

仅一行，包含一个数，即最少的涂色次数。

输入输出样例 #1

输入 #1

AAAAA

输出 #1

1

输入输出样例 #2

输入 #2

RGBGR

输出 #2

3

说明/提示

$40\%$ 的数据满足 $1\le n\le 10$。

$100\%$ 的数据满足 $1\le n\le 50$。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;char s[60]; // 存储输入的字符串
int dp[60][60]; // dp[l][r]表示将区间[l..r]涂成目标颜色所需的最少次数int main(){scanf("%s", s + 1); // 从s[1]开始读取字符串int n = strlen(s + 1); // 获取字符串长度memset(dp, 0x3f, sizeof(dp)); // 初始化为极大值，表示不可达// 初始化单个字符的情况for(int i = 1; i <= n; i++){dp[i][i] = 1; // 单个字符只需涂一次}// 动态规划处理所有区间for(int k = 2; k <= n; k++){ // 枚举区间长度，从2到nfor(int l = 1; l + k - 1 <= n; l++){ // 枚举区间左端点lint r = l + k - 1; // 计算区间右端点r// 如果区间两端字符相同，则可能合并涂色if(s[l] == s[r]){dp[l][r] = min(dp[l + 1][r], dp[l][r - 1]); // 取不包含左端点或不包含右端点的子区间的最小值}// 遍历所有可能的分割点，寻找更优解for(int i = l; i < r; i++){dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][i] + dp[i + 1][r]);}}}printf("%d\n", dp[1][n]); // 输出整个字符串的最少涂色次数return 0;
}

功能分析：

该程序采用动态规划解决区间涂色问题，关键点如下：

1. 状态定义：dp[l][r]表示将区间[l..r]涂成目标颜色所需的最少次数。

2. 初始化：每个单字符区间dp[i][i]初始化为1，因为只需一次涂色。

3. 状态转移：

   • 两端相同处理：若区间两端字符相同，则dp[l][r]可取左右子区间的最小值，因为可以在涂色时覆盖端点。
   • 分割点遍历：枚举所有可能的分割点i，将区间分为[l..i]和[i+1..r]，取两部分次数和的最小值。

4. 自底向上计算：从小区间逐步求解大区间，确保每个区间的解都基于最优子结构。

5. 复杂度：时间复杂度为O(n³)，适用于题目中的n≤50的数据范围。

文末彩蛋：

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