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学习计划：3个月内算法小成，完成leetcode hot100

当前进度：学完数组、链表、哈希表、字符串、双指针、二叉树

刷题语言：Python

时间：2025/05/19-2025/05/21，2025/06/17-

八、回溯算法

学习链接：代码随想录

1、回溯算法理论基础

题目分类

组合	组合
	电话号码的字母组合
	组合总和
	组合总和II
	组合总和III
分割	分割回文串
	复原IP地址
子集	子集
	子集II
全排列	全排列
	全排列II
棋盘问题	N皇后
	解数独
其他	递增子序列（类似子集）
	重新安排行程

什么是回溯法？

        回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。所以以下讲解中，回溯函数也就是递归函数，指的都是一个函数。

回溯法的效率

        回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质，所以回溯法并不是什么高效的算法。

        那么既然回溯法并不高效为什么还要用它呢？

        因为没得选，一些问题能暴力搜出来就不错了，撑死了再剪枝一下，还没有更高效的解法。此时大家应该好奇了，都什么问题，这么牛逼，只能暴力搜索。

回溯法解决的问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

如何理解回溯法

        回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构，是的，我指的是所有回溯法的问题都可以抽象为树形结构！

        因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就构成了树的深度。

        递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

2、组合

题目：给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。你可以按 任何顺序 返回答案。

示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]

思路：把组合问题抽象为如下树形结构，图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:res = []self.backtracking(n,k,1,[],res)return resdef backtracking(self,n,k,startIndex,path,res):#一共有k层for循环，每次递归就是一次for循环if len(path)==k:#终止条件res.append(path[:]) #将 path 的浅拷贝添加到列表 res 中，如果append（path），path变res中的元素也变returnfor i in range(startIndex,n+1):path.append(i) #处理节点self.backtracking(n,k,i+1,path,res)path.pop()#i=1  12 弹出2 | 13 弹出3 | 14 弹出4#i=2  23 弹出3 | 24 弹出4#i=3  34 弹出4

class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:res = []path = []def dfs(i):d = k-len(path) #还需要枚举的数字个数if d == 0:#结束递归res.append(path.copy())returnfor j in range(i,0,-1): #倒序枚举path.append(j)dfs(j-1)path.pop()dfs(n)#n=4   43 弹出3| 42 弹出2 | 41 弹出1 结束#n=3   32 弹出2| 31 弹出1 结束#n=2   21 弹出1 结束return res

• 时间复杂度：分析回溯问题的时间复杂度，有一个通用公式：路径长度×搜索树的叶子数。对于本题，它等于 O(k⋅C(n,k))
• 空间复杂度: O(n)

3、组合（剪枝优化）

class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:res = []self.backtracking(n,k,1,[],res)return resdef backtracking(self,n,k,startIndex,path,res):if len(path)==k:#终止条件res.append(path[:])returnfor i in range(startIndex,n-(k-len(path))+2): #优化path.append(i) self.backtracking(n,k,i+1,path,res)path.pop()

4、组合总和III