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[作者]
常用网名: 猪头三
出生日期: 1981.XX.XX
企鹅交流: 643439947
个人网站: 80x86汇编小站
编程生涯: 2001年~至今[共24年]
职业生涯: 22年
开发语言: C/C++、80x86ASM、Object Pascal、Objective-C、C#、R、Python、PHP、Perl、
开发工具: Visual Studio、Delphi、XCode、C++ Builder、Eclipse
技能种类: 逆向 驱动 磁盘 文件 大数据分析
涉及领域: Windows应用软件安全/Windows系统内核安全/Windows系统磁盘数据安全/macOS应用软件安全
项目经历: 股票模型量化/磁盘性能优化/文件系统数据恢复/文件信息采集/敏感文件监测跟踪/网络安全检测
专注研究: 机器学习、股票模型量化、金融分析
[描述]
用 Taylor 定理(带余项的形式)来严格推导
ln ( 1 − u ) = − u − u 2 2 − u 3 3 − ⋯ ≈ − u \ln(1 - u) \;=\;-u \;-\;\frac{u^2}{2}\;-\;\frac{u^3}{3}\;-\cdots \;\approx\;-u ln(1−u)=−u−2u2−3u3−⋯≈−u
重点在于写出"余项"(remainder)的表达式, 并说明它为什么相对第一项很小, 从而可以忽略. 以下分几步来展开.
1. Taylor 定理(拉格朗日余项形式)概述
设 f f f 在 a a a 的某邻域内具有 n + 1 n+1 n+1 阶连续导数, 那么在点 a a a 处对 f ( x ) f(x) f(x) 做 n n n 阶 Taylor 展开, 有：
f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) f(x) \;=\; P_n(x) \;+\; R_n(x) f(x)=Pn(x)+Rn(x)
其中
-
P n ( x ) P_n(x) Pn(x) 是关于 a a a 点的 n n n 阶 Taylor 多项式：
P n ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n P_n(x) \;=\; f(a) \;+\; f'(a)(x-a) \;+\; \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 \;+\;\cdots+\; \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n Pn(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+⋯+n!f(n)(a)(x−a)n
-
R n ( x ) R_n(x) Rn(x) 是 Lagrange 格式的余项：
R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 , 对某个 ξ 在 a 与 x 之间. R_n(x) \;=\; \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x - a)^{\,n+1}, \quad \text{对某个 } \xi \text{ 在 }a\text{ 与 }x\text{ 之间.} Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−a)n+1,对某个 ξ 在 a 与 x 之间.
在本题中, 令
f ( u ) = ln ( 1 − u ) , a = 0 f(u) = \ln(1 - u), \qquad a = 0 f(u)=ln(1−u),a=0
希望展开到一阶(即 n = 1 n=1 n=1), 然后考察余项 R 1 ( u ) R_1(u) R1(u) 的大小.
2. 计算各阶导数, 并写出一阶多项式与余项
对 f ( u ) = ln ( 1 − u ) f(u)=\ln(1 - u) f(u)=ln(1−u), 在 u = 0 u=0 u=0 处计算导数：
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f ( u ) = ln ( 1 − u ) f(u) = \ln(1 - u) f(u)=ln(1−u).
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第一阶导数：
f ′ ( u ) = d d u [ ln ( 1 − u ) ] = − 1 1 − u f'(u) = \frac{d}{du}\bigl[\ln(1-u)\bigr] = -\,\frac{1}{1 - u} f′(u)=dud