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马尔可夫决策过程 (Markov Decision Process, MDP)

1. MDP 原理介绍

马尔可夫决策过程 (MDP) 是强化学习 (Reinforcement Learning, RL) 中用于对序贯决策 (Sequential Decision Making) 问题进行数学建模的标准框架。它描述了一个智能体 (Agent) 与环境 (Environment) 交互的过程，其中智能体的目标是最大化其在一段时间内获得的总奖励。

MDP 假设环境具有马尔可夫性质 (Markov Property)，即未来的状态和奖励只依赖于当前的状态和智能体采取的动作，而与过去的状态或动作历史无关。

一个 MDP 通常由以下五个核心要素组成，表示为一个五元组 $(S,A,P,R,\gamma )$：

1. 状态集合 (State Space, $S$):

   • 表示智能体可能处于的所有不同情况或配置的集合。状态可以是离散的（例如棋盘格的位置）或连续的（例如机器人的关节角度）。这里我们主要关注离散状态空间。
   • $S_t$ 表示智能体在时间步 $t$ 所处的状态。

2. 动作集合 (Action Space, $A$):

   • 表示智能体在每个状态下可以采取的所有可能行为的集合。动作也可以是离散的（例如游戏中按键）或连续的（例如控制油门）。有时动作集合依赖于状态，记为 $A(s)$。
   • $A_t$ 表示智能体在时间步 $t$ 选择的动作。

3. 状态转移概率 (Transition Probability Function, $P$):

   • $P(s^{\prime }|s,a)=Pr(S_{t+1}=s^{\prime }|S_t=s,A_t=a)$。
   • 它定义了在状态 $s$ 下采取动作 $a$ 后，转移到下一个状态 $s^{\prime }$ 的概率。这体现了环境的动态性，可能包含随机性。
   • 对于所有 $s\in S,a\in A(s)$，必须满足 ${\sum }_{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a)=1$。

4. 奖励函数 (Reward Function, $R$):

   • 定义了智能体在特定状态下采取特定动作后获得的即时奖励。有几种常见的定义方式：
     • $R(s,a,s^{\prime })$：在状态 $s$ 采取动作 $a$ 并转移到状态 $s^{\prime }$ 时获得的奖励。
     • $R(s,a)=E[R_{t+1}|S_t=s,A_t=a]={\sum }_{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a)R(s,a,s^{\prime })$：在状态 $s$ 采取动作 $a$ 后期望获得的即时奖励。这是更常用的形式。
     • $R(s)$：仅与进入状态 $s$ 相关联的奖励。
   • 奖励函数 $R$ 定义了问题的目标。智能体的目的是最大化累积奖励。$R_{t+1}$ 是在时间步 $t+1$ 获得的奖励。

5. 折扣因子 (Discount Factor, $\gamma$):

   • $\gamma \in [0,1]$。它是一个用于衡量未来奖励相对于当前奖励重要性的参数。
   • $\gamma$ 接近 0 时，智能体更关注即时奖励（短视）。
   • $\gamma$ 接近 1 时，智能体更关注长期累积奖励（远视）。
   • $\gamma <1$ 通常也确保了无限时间范围内的累积奖励（回报）是有限的。

马尔可夫性质 (Markov Property)
这是 MDP 的核心假设：$P(S_{t+1},R_{t+1}|S_t,A_t,S_{t-1},A_{t-1},...,S_0,A_0)=P(S_{t+1},R_{t+1}|S_t,A_t)$。这意味着，系统下一时刻的状态和获得的奖励，仅取决于当前的状态 $S_t$ 和当前采取的动作 $A_t$，与之前的历史状态和动作无关。

目标
智能体的目标是找到一个策略 (Policy) $\pi$，该策略定义了在每个状态 $s$ 下选择动作 $a$ 的方式（通常是概率分布 $\pi (a|s)=Pr(A_t=a|S_t=s)$），以最大化期望累积折扣奖励 (Expected Cumulative Discounted Reward)，也称为回报 (Return) 或 价值 (Value)。
从时间步 $t$ 开始的回报定义为：
$$G_t=R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+{\gamma }^2{R}_{t+3}+...=\sum _{k=0}^{\infty }{\gamma }^k{R}_{t+k+1}$$

价值函数 (Value Functions)
为了评估策略的好坏，引入了价值函数：

• 状态价值函数 (State-Value Function) $V^{\pi }(s)$: 从状态 $s$ 开始，遵循策略 $\pi$ 所能获得的期望回报。
  $$V^{\pi }(s)=E_{\pi }[G_t|S_t=s]=E_{\pi }\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\gamma }^k{R}_{t+k+1}|S_t=s\right]$$
• 动作价值函数 (Action-Value Function) $Q^{\pi }(s,a)$: 在状态 $s$ 采取动作 $a$，然后遵循策略 $\pi$ 所能获得的期望回报。
  $$Q^{\pi }(s,a)=E_{\pi }[G_t|S_t=s,A_t=a]=E_{\pi }\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\gamma }^k{R}_{t+k+1}|S_t=s,A_t=a\right]$$

贝尔曼方程 (Bellman Equations)
价值函数满足递归关系，称为贝尔曼方程，它们是大多数 RL 算法的基础。

• 贝尔曼期望方程 (Bellman Expectation Equation for $V^{\pi }$):
  $$V^{\pi }(s)=\sum _a\pi (a|s)\sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a)[R(s,a,s^{\prime })+\gamma V^{\pi }(s^{\prime })]$$
  (若使用 $R(s,a)$，则为: $V^{\pi }(s)={\sum }_a\pi (a|s)(R(s,a)+\gamma {\sum }_{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a)V^{\pi }(s^{\prime }))$)
• 贝尔曼期望方程 (Bellman Expectation Equation for $Q^{\pi }$):
  $$Q^{\pi }(s,a)=\sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a)[R(s,a,s^{\prime })+\gamma \sum _{a^{\prime }}\pi (a^{\prime }|s^{\prime })Q^{\pi }(s^{\prime },a^{\prime })]$$
  (若使用 $R(s,a)$，则为: $Q^{\pi }(s,a)=R(s,a)+\gamma {\sum }_{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a)V^{\pi }(s^{\prime })=R(s,a)+\gamma {\sum }_{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a){\sum }_{a^{\prime }}\pi (a^{\prime }|s^{\prime })Q^{\pi }(s^{\prime },a^{\prime }))$)

强化学习的目标是找到最优策略 ${\pi }_{\ast }$，使得所有状态的价值 $V^{{\pi }_{\ast }}(s)$ 或所有状态动作对的价值 $Q^{{\pi }_{\ast }}(s,a)$ 最大化。对应的价值函数称为最优价值函数 $V_{\ast }(s)$ 和 $Q_{\ast }(s,a)$，它们满足贝尔曼最优方程 (Bellman Optimality Equations)。

2. MDP 建模/实现步骤

将一个实际问题建模为 MDP，通常涉及以下步骤。这并不是一个具体的编程实现，而是定义问题的数学框架：

1. 定义状态空间 $S$: 确定能够充分描述问题状态的所有变量和它们的可能取值。状态需要满足马尔可夫性质。选择合适的状态表示至关重要。
2. 定义动作空间 $A$: 确定智能体在每个状态下可以采取的所有动作。
3. 定义状态转移概率 $P(s^{\prime }|s,a)$: 描述环境的动态。对于每个状态 $s$ 和动作 $a$，确定转移到下一个状态 $s^{\prime }$ 的概率。这通常是建模中最困难的部分，可能基于物理定律、规则或数据估计。
4. 定义奖励函数 $R(s,a)$ 或 $R(s,a,s^{\prime })$: 设计奖励信号以引导智能体实现目标。奖励应该反映任务的即时成功或失败。例如，目标达成给予正奖励，危险状态给予负奖励，普通移动给予小的负奖励（鼓励效率）。
5. 选择折扣因子 $\gamma$: 根据任务是有限期还是无限期，以及对未来奖励的重视程度来选择 $\gamma$。

完成建模后:

• 如果 MDP 的模型（$P$ 和 $R$）已知，可以使用动态规划 (Dynamic Programming) 方法（如价值迭代 Value Iteration 或策略迭代 Policy Iteration）来精确计算最优价值函数和最优策略。
• 如果 MDP 的模型未知（这是更常见的情况），则需要使用强化学习算法（如 Q-Learning, SARSA, DQN, Actor-Critic 等），通过智能体与环境的交互（采样）来学习最优策略。

3. MDP 示例：简单网格世界 (Grid World)

假设有一个 3x3 的网格世界。

+---+---+---+
|   |   | G |  (0,0) (0,1) (0,2)
+---+---+---+
|   | W |   |  (1,0) (1,1) (1,2)
+---+---+---+
| S |   |   |  (2,0) (2,1) (2,2)
+---+---+---+

• S (Start): 智能体的起始位置 (2,0)。
• G (Goal): 目标位置 (0,2)，到达后获得奖励。
• W (Wall): 墙壁 (1,1)，无法进入。
• 空格: 可以移动的普通格子。

MDP 组件定义:

1. 状态空间 $S$: 每个格子的坐标 $(r,c)$，其中 r ∈ { 0 , 1 , 2 } , c ∈ { 0 , 1 , 2 } r \in \{0, 1, 2\}, c \in \{0, 1, 2\} r∈{0,1,2},c∈{0,1,2}。共 9 个状态。状态 (1,1) 是障碍物。状态 (0,2) 是目标状态（可以设为终止状态）。

2. 动作空间 $A$: 在每个非终止状态，智能体可以尝试向四个方向移动：{上 (Up), 下 (Down), 左 (Left), 右 (Right)}。

3. 状态转移概率 $P(s^{\prime }|s,a)$:

   • 确定性环境: 假设移动是确定的。
     • 如果从状态 $s=(r,c)$ 尝试动作 $a$，目标格子 $s^{\prime }=(r^{\prime },c^{\prime })$ 在网格内且不是墙壁 (1,1)，则 $P(s^{\prime }|s,a)=1$，其他 $P(s^{\prime \prime }|s,a)=0$。
     • 如果目标格子 $s^{\prime }$ 超出边界或撞墙 (1,1)，则智能体停留在原地，即 $P(s|s,a)=1$。
     • 如果当前状态 $s$ 是目标状态 G (0,2)，可以设定 G 为终止状态，任何动作都停留在 G (或转移到一个特殊的终止状态)。
   • 随机性环境 (可选): 假设有 80% 的概率按预期方向移动，各有 10% 的概率向预定方向的左侧或右侧移动（撞墙或边界则停留在原地）。例如，在 (1,0) 选择 ‘Up’：
     • 80% 概率到达 (0,0)。
     • 10% 概率向左滑，撞边界，停留在 (1,0)。
     • 10% 概率向右滑，撞墙 (1,1)，停留在 (1,0)。
     • 因此 $P((0,0)|(1,0),\text{’Up’})=0.8$, $P((1,0)|(1,0),\text{’Up’})=0.2$。

4. 奖励函数 $R(s,a)$ 或 $R(s,a,s^{\prime })$:

   • 到达目标状态 G (0,2)：$R=+10$。
   • 每次移动（到达非目标状态）：$R=-0.1$ （鼓励尽快到达目标）。
   • 撞墙或边界（停留在原地）：$R=-1$ （轻微惩罚）。
   • (另一种设计：只有到达目标状态 G 时获得 $R=+1$，其他所有转移奖励为 0)。

5. 折扣因子 $\gamma$: 例如， $\gamma =0.9$。

目标: 找到一个策略 $\pi (a|s)$，使得从状态 S (2,0) 出发，到达 G (0,2) 的期望累积折扣奖励最大化。这通常意味着找到一条避开墙壁、最快到达目标的路径。

通过动态规划（如果 $P,R$ 已知）或强化学习算法（如果未知或需要通过交互学习），可以计算出每个状态的最佳动作，形成最优策略。例如，在 (2,0) 最优动作可能是 ‘Up’，在 (1,0) 最优动作可能是 ‘Up’ 或 ‘Right’ (取决于随机性和奖励设计)，最终引导智能体走向 (0,2)。