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记录今天解决的两道 LeetCode 算法题，主要涉及二分查找的应用。

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1283. 使结果不超过阈值的最小除数

题目描述

思路

核心思路是 二分查找。

解题过程

1. 为什么可以使用二分？
   关键在于单调性。对于一个固定的数组 nums，当除数 divisor 增大时，每个元素 num / divisor (向上取整) 的值是 非递增 的，因此它们的总和也是 非递增 的。
   我们要求的是满足 sum <= threshold 的 最小 divisor。

   • 如果当前除数 mid 计算出的总和 sum 大于 threshold，说明 mid 太小了，我们需要增大除数。因此，真正的答案一定在 [mid + 1, right] 区间。
   • 如果当前除数 mid 计算出的总和 sum 小于等于 threshold，说明 mid 是一个可能的解，但可能存在更小的除数也满足条件。因此，我们尝试在 [left, mid - 1] 区间寻找更小的解，同时记录 mid 作为潜在答案。

2. 二分查找的目标？
   我们要查找的是满足条件的 最小 正整数除数。

3. 查找范围？

   • left：最小可能的除数是 1（题目要求正整数除数）。
   • right：最大可能的除数是多少？如果除数非常大（例如，等于数组中的最大元素），那么每个数除后的结果向上取整至少是 1，总和至少是 nums.length。如果除数是数组中的最大值 max(nums)，那么每个 ceil(num / max(nums)) 都是 1，总和为 nums.length。因此，一个合理的上界是数组中的最大元素值。如果阈值 threshold 非常小（比如等于 nums.length），那么除数可能需要等于最大元素值。

4. check 函数：
   需要一个辅助函数 check(nums, divisor) 来计算在当前除数 divisor 下，数组元素的除法结果（向上取整）之和。计算 ceil(x / divisor) 可以用 (x + divisor - 1) / divisor 的整数除法实现，或者像原始代码那样判断余数。

复杂度

• 时间复杂度: O(N log M)
  • 其中 N 是数组 nums 的长度。
  • M 是二分查找的范围上限，即 nums 中的最大元素值。
  • 每次 check 函数需要 O(N) 的时间遍历数组。
  • 二分查找需要 O(log M) 次 check 调用。
• 空间复杂度: O(1)
  • 我们只需要常数级别的额外空间来存储 left, right, mid 和 sum 等变量。

Code

class Solution {public int smallestDivisor(int[] nums, int threshold) {Arrays.sort(nums);int left = 1, right = nums[nums.length - 1];while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (check(nums, mid) < threshold + 1) {right = mid - 1;} else {left = mid + 1;}}return left;}private int check(int[] nums, int divisor) {int sum = 0;for (int x : nums) {if (x % divisor == 0) {sum += x / divisor;} else {sum += x / divisor + 1;}}return sum;}
}

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1170. 比较字符串最小字母出现频次

题目描述

思路

结合 预处理 和 二分查找。

解题过程

1. 计算频率 f(s)：
   首先，需要实现一个函数 f(s)，用于计算给定字符串 s 中字典序最小的字符的出现次数。遍历字符串，找到最小字符，并统计其出现次数。

2. 预处理 words：
   对 words 数组中的每个字符串 W，计算其 f(W)，并将这些频率值存储在一个新的整数数组 wFreq 中。

3. 排序 wFreq：
   为了能够高效地查找满足 f(queries[i]) < f(W) 的 W 的数量，我们将 wFreq 数组进行升序排序。

4. 二分查找：
   对于每个 queries[i]:
   a. 计算 qVal = f(queries[i])。
   b. 我们需要在已排序的 wFreq 数组中找到 第一个 大于 qVal 的元素的位置 idx。
   c. wFreq 数组中从 idx 到末尾的所有元素都满足 f(W) > qVal。因此，满足条件的 W 的数量就是 wFreq.length - idx。
   d. 查找 “第一个大于 qVal 的元素” 可以通过二分查找实现。具体地，我们可以查找 第一个大于等于 qVal + 1 的元素的位置。

复杂度

• 时间复杂度: O(L_q * N + L_w * M + M log M + N log M)
  • 其中 N 是 queries 的长度，M 是 words 的长度。
  • L_q 和 L_w 分别是 queries 和 words 中字符串的最大长度。
  • 计算所有 f(queries[i]) 需要 O(L_q * N)。
  • 计算所有 f(W) 需要 O(L_w * M)。
  • 对 wFreq 排序需要 O(M log M)。
  • 对每个 query 进行二分查找需要 O(log M)，总共 N 次查找为 O(N log M)。
  • 整体复杂度由这些部分相加决定。如果字符串长度较小，主要由排序和查找决定。
• 空间复杂度: O(N + M)
  • 需要 O(N) 空间存储 queries 的频率结果（或者直接在结果数组中计算）。
  • 需要 O(M) 空间存储 words 的频率数组 wFreq。
  • 排序可能需要 O(log M) 或 O(M) 的额外栈空间或临时空间，但 O(N+M) 通常是主导。

Code

import java.util.Arrays;class Solution {public int[] numSmallerByFrequency(String[] queries, String[] words) {int n = queries.length, m = words.length;int[] qFreq = new int[n]; // 存储 queries 的 f 值int[] wFreq = new int[m]; // 存储 words 的 f 值int[] ans = new int[n];   // 存储最终结果// 1. 计算 queries 中每个字符串的 f 值for (int i = 0; i < n; i++) {qFreq[i] = calculateF(queries[i]);}// 2. 计算 words 中每个字符串的 f 值for (int i = 0; i < m; i++) {wFreq[i] = calculateF(words[i]);}// 3. 对 words 的频率数组进行排序Arrays.sort(wFreq);// 4. 对每个 query 的频率值，在排好序的 wFreq 中进行二分查找for (int i = 0; i < n; i++) {int targetFreq = qFreq[i];// 查找第一个严格大于 targetFreq 的元素的位置// 等价于查找第一个大于等于 targetFreq + 1 的元素的位置int index = findFirstGreater(wFreq, targetFreq);ans[i] = m - index; // 从该位置到数组末尾的元素个数即为所求}return ans;}// 计算字符串 s 的 f(s) 值private int calculateF(String s) {if (s == null || s.isEmpty()) {return 0;}char minChar = 'z' + 1; // 初始化为一个比 'z' 大的字符int count = 0;for (char c : s.toCharArray()) {if (c < minChar) {minChar = c;count = 1; // 找到了更小的字符，重置计数} else if (c == minChar) {count++; // 遇到了相同的最小字符，增加计数}}return count;}// 在升序数组 arr 中查找第一个严格大于 target 的元素的索引// 如果所有元素都小于等于 target，返回 arr.lengthprivate int findFirstGreater(int[] arr, int target) {int left = 0, right = arr.length - 1;int resultIndex = arr.length; // 默认为数组长度，表示没找到while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (arr[mid] > target) {// arr[mid] 比 target 大，可能是第一个，也可能前面还有resultIndex = mid; // 记录当前这个可能的位置right = mid - 1;  // 继续向左查找更小的索引} else {// arr[mid] 小于等于 target，需要向右查找更大的值left = mid + 1;}}return resultIndex;}
}