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目录
- 差分及其性质
- 不变算子&移位算子
差分及其性质
设函数 y = f ( x ) =f(x) =f(x)在等距节点 x k = x 0 + k h x_k=x_0+kh xk=x0+kh ( k = 0 , 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , n k=0,1,\cdotp\cdotp\cdotp,n k=0,1,⋅⋅⋅,n)上的值 f k = f ( x k ) f_k=f(x_k) fk=f(xk)为已知，这里 h h h 为常数，称为步长。
Δ f k = f k + 1 − f k \Delta f_{k}=f_{k+1}-f_{k} Δfk=fk+1−fk
∇ f k = f k − f k − 1 \nabla f_k=f_k-f_{k-1} ∇fk=fk−fk−1
δ f k = f ( x k + h / 2 ) − f ( x k − h / 2 ) = f k + 1 2 − f k − 1 2 \delta f_k=f(x_k+h/2)-f(x_k-h/2)=f_{k+\frac12}-f_{k-\frac12} δfk=f(xk+h/2)−f(xk−h/2)=fk+21−fk−21
分别称为 f ( x ) f(x) f(x)在 x k x_k xk 处以 h h h 为步长的向前差分、向后差分及中心差分。符号 Δ , ∇ , δ Δ,∇,δ Δ,∇,δ 分别称为向前差分算子、向后差分算子及中心差分算子。
利用一阶差分可定义二阶差分为
Δ 2 f k = Δ f k + 1 − Δ f k = f k + 2 − 2 f k + 1 + f k . \Delta^2f_k=\Delta f_{k+1}-\Delta f_k=f_{k+2}-2f_{k+1}+f_k. Δ2fk=Δfk+1−Δfk=fk+2−2fk+1+fk.
一般地，可定义 m m m 阶差分为
Δ m f k = Δ m − 1 f k + 1 − Δ m − 1 f k \Delta ^mf_k= \Delta ^{m- 1}f_{k+ 1}- \Delta ^{m- 1}f_k Δmfk=Δm−1fk+1−Δm−1fk
∇ m f k = ∇ m − 1 f k − ∇ m − 1 f k − 1 \nabla ^mf_k= \nabla ^{m- 1}f_k- \nabla ^{m- 1}f_{k- 1} ∇mfk=∇m−1fk−∇m−1fk−1
因中心差分 δ f k \delta f_k δfk 用到 f k + 1 2 f_{k+\frac12} fk+21及 f k − 1 2 f_{k-\frac12} fk−21这两个值，实际上不是函数表上的值。
如果用函数表的值，一阶中心差分应写成
δ f k + 1 2 = f k + 1 − f k \delta f_{k+ \frac 12}= f_{k+ 1}- f_k δfk+21=fk+1−fk
δ f k − 1 2 = f k − f k − 1 \delta f_{k- \frac 12}= f_k- f_{k- 1} δfk−21=fk−fk−1
二阶中心差分为
δ 2 f k = δ f k + 1 2 − δ f k − 1 2 \delta^2f_k=\delta f_{k+\frac12}-\delta f_{k-\frac12} δ2fk=δfk+21−δfk−21
不变算子&移位算子
除了已引人的差分算子外，常用算子符号还有不变算子 I I I 及移位算子 E E E：
I f k = f k {I} f_k= f_k Ifk=fk
E f k = f k + 1 {E} f_k= f_{k+ 1} Efk=fk+1
于是，由
Δ f k = f k + 1 − f k = E f k − I f k = ( E − I ) f k \Delta f_k=f_{k+1}-f_k=Ef_k-If_k=(E-I)f_k Δfk=fk+1−fk=Efk−Ifk=(E−I)fk
可得
Δ = E − I \Delta=E-I Δ=E−I
同理，可得
∇ = I − E − 1 \nabla=I- \mathrm{E} ^{- 1} ∇=I−E−1
δ = E 1 2 − E − 1 2 \delta = \mathrm{E} ^{\frac 12}- \mathrm{E} ^{- \frac 12} δ=E21−E−21