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基础算法 第一节 动态规划的基本模型
1286：怪盗基德的滑翔翼

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1. 理解题意

同学们，我们一起来看怪盗基德遇到的这个有趣问题哦。怪盗基德成功偷到了钻石，可倒霉的是他的滑翔翼动力装置被柯南破坏了。现在他在一个城市里，这个城市有一排建筑，一共有 N 幢，而且每幢建筑的高度都不一样呢。

基德可以从这一排建筑中的任意一幢的顶部开始他的逃跑旅程哦。不过他有两个限制条件：一是他只能朝着一个方向逃跑，而且在逃跑过程中不能改变方向；二是因为滑翔翼坏了，他只能从高的建筑滑到低的建筑。

那我们要做的就是算一算，在这些条件的限制下，基德最多能经过多少幢不同建筑的顶部呢，这里面可是包含他一开始所在的那幢建筑哟。比如说，题目给了我们一些建筑的高度数据，像 300，207，155，299，298，170，158，65，我们就要找出基德按照规则能经过的最多建筑数量。而且呀，题目中会给出好多组这样的建筑高度数据，我们都要一一算出答案呢。

2. 解题思路

那我们怎么来解决这个问题呢？其实呀，因为基德可以从左往右滑，也可以从右往左滑，所以我们要分别计算这两种情况下他能经过的最多建筑数量，然后取这两个结果里面较大的那个，就是基德最多能经过的建筑数量啦。

那怎么计算从左往右滑时能经过的最多建筑数量呢？我们可以从第一幢建筑开始，依次往后看每一幢建筑。对于每一幢建筑，我们看看它前面的建筑中，哪些比它高。然后记录下从那些比它高的建筑滑到当前建筑时，能经过的最多建筑数量，取其中的最大值再加 1（加上当前建筑本身），这样就能得到以当前建筑为终点时能经过的最多建筑数量啦。

从右往左滑的情况和从左往右滑是差不多的，只是方向反了过来，从最后一幢建筑开始往前看。最后把从左往右滑和从右往左滑得到的最多建筑数量进行比较，大的那个就是我们要的答案哦。

3. 解题步骤

1. 输入测试数据组数：首先，我们要输入一个整数 k，这个 k 表示题目中会给我们 k 组不同的建筑高度数据哦。
2. 对于每组测试数据：
   • 输入建筑数量：输入一个整数 n，它代表这一组数据里有 n 幢建筑。
   • 输入建筑高度：接着输入 n 个不同的整数，这些整数就代表每幢建筑的高度啦，我们把它们存到一个数组 h 里。
   • 计算从左往右滑的最多建筑数量：我们先创建一个数组 ltr（表示从左到右），用来存储以每幢建筑为终点时能经过的最多建筑数量，一开始把数组里的每个数都设为 1（因为每幢建筑本身就算是经过了 1 幢建筑）。然后从第二幢建筑开始，对于每幢建筑，我们去看它前面的建筑，如果前面的建筑比它高，我们就更新当前建筑能经过的最多建筑数量（取当前值和前面建筑能经过的最多建筑数量加 1 里面较大的那个）。
   • 计算从右往左滑的最多建筑数量：和从左往右滑的做法差不多哦，我们再创建一个数组 rtl（表示从右到左），从最后一幢建筑开始往前看，同样的，如果后面的建筑比当前建筑高，就更新当前建筑能经过的最多建筑数量。
   • 比较并输出结果：最后我们比较从左往右滑和从右往左滑得到的最多建筑数量，把大的那个数输出，这就是基德在这一组建筑高度数据下最多能经过的建筑数量啦。

4. C++代码实现

#include <iostream> // 包含输入输出流的头文件，这样我们就能输入和输出数据啦
using namespace std; int main() {int k; // 定义变量k，用来存储测试数据的组数cin >> k; // 从键盘输入测试数据的组数kwhile (k--) { // 对于每一组测试数据int n; // 定义变量n，用来存储这组数据中建筑的数量cin >> n; // 从键盘输入建筑的数量nint h[105]; // 定义数组h，用来存储建筑的高度，105是为了防止越界for (int i = 0; i < n; i++) { // 循环输入每幢建筑的高度cin >> h[i]; // 把输入的高度存到数组h里}int ltr[105] = {1}; // 定义数组ltr，存储从左往右滑时以每幢建筑为终点的最多建筑数量，初始值设为1for (int i = 1; i < n; i++) { // 从第二幢建筑开始计算ltr[i] = 1; // 先把当前建筑能经过的最多建筑数量设为1for (int j = 0; j < i; j++) { // 看当前建筑前面的建筑if (h[j] > h[i]) { // 如果前面的建筑比当前建筑高ltr[i] = max(ltr[i], ltr[j] + 1); // 更新当前建筑能经过的最多建筑数量}}}int rtl[105] = {1}; // 定义数组rtl，存储从右往左滑时以每幢建筑为终点的最多建筑数量，初始值设为1for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { // 从最后一幢建筑开始计算rtl[i] = 1; // 先把当前建筑能经过的最多建筑数量设为1for (int j = n - 1; j > i; j--) { // 看当前建筑后面的建筑if (h[j] > h[i]) { // 如果后面的建筑比当前建筑高rtl[i] = max(rtl[i], rtl[j] + 1); // 更新当前建筑能经过的最多建筑数量}}}int ans = 0; // 定义变量ans，用来存储最多能经过的建筑数量，初始值设为0for (int i = 0; i < n; i++) { // 遍历所有建筑ans = max(ans, max(ltr[i], rtl[i])); // 比较并更新最多能经过的建筑数量}cout << ans << endl; // 输出最多能经过的建筑数量}return 0;
}

5. 知识点总结

1. 数组的使用：我们用了几个数组，像 h 数组用来存建筑的高度，ltr 数组存从左往右滑时以每幢建筑为终点的最多建筑数量，rtl 数组存从右往左滑时以每幢建筑为终点的最多建筑数量。数组就像是一排小格子，我们可以把好多相关的数据一个一个地放进去，方便我们后面使用。
2. 循环结构：这里用了好多层循环哦。最外层的 while 循环用来处理多组测试数据，里面的 for 循环，有的用来输入建筑高度，有的用来计算从左往右和从右往左滑时的最多建筑数量。循环能让我们重复做一些事情，直到满足一定的条件。
3. 条件判断：在循环里面，我们用 if 语句来判断前面或者后面的建筑是不是比当前建筑高。根据判断的结果，我们就可以决定要不要更新当前建筑能经过的最多建筑数量。条件判断能让我们的程序根据不同的情况做不同的事情。
4. 求最大值：我们用 max 函数来比较不同情况下的最多建筑数量，找到其中最大的那个。这样我们就能得到怪盗基德最多能经过的建筑数量啦。
5. 逻辑思维：解决这个问题的时候，我们要想清楚基德可以从两个方向滑，还要分别计算这两个方向能经过的最多建筑数量，最后再比较取大的。这锻炼了我们的逻辑思维能力，让我们学会把一个复杂的问题分成几个小步骤来解决。