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🧭 本节目标
- 理解 B 树与 B+ 树出现的背景和适用场景
- 学会区分它们在结构和访问方式上的核心区别
- 分析为何 B+ 树更适合用于磁盘存储
- 引导手动实现一个简单的 B 树（插入、查找）版本，打下基础
一、为什么红黑树不适合磁盘？
在内存中，红黑树表现优秀。但在磁盘或 SSD 上的大规模数据结构中，它就不那么合适了：
❌ 原因一：红黑树高度偏高
- 红黑树高度 ≈ 2 log₂(n)，虽然比链表强，但访问节点太多
- 每次查找都需要跳转多个节点，而每跳一次就可能触发一次磁盘 I/O，代价巨大
❌ 原因二：节点小，不适合块式存储
- 红黑树节点小（通常是一个 key + 两个指针）
- 无法利用磁盘或页缓存的块读取优势，不符合局部性原理
二、B 树的提出：为磁盘设计的树结构
🔑 B 树（Balanced Tree）最早由 Bayer 和 McCreight 于 1972 年提出。
✅ 它的目标：
- 让每个节点尽可能大（例如一个 4KB 页），减少磁盘访问次数
- 每个节点存储多个 key，从而大大降低树的高度
三、B 树结构定义（以 m 阶为例）
一个 m 阶 B 树满足以下条件：
- 每个节点最多有 m 个子节点，m ≥ 3
- 每个非叶子节点最少有 ⌈m/2⌉ 个子节点
- 每个节点中存储
k个 key，满足：k = 子节点数 - 1 - 所有叶子节点在同一层（平衡性）
- 节点 key 保持升序排列
📐 举例：一棵 5 阶 B 树
[17 35]/ | \[5 8] [20 22] [40 60]- 根有两个 key：17, 35
- 三个子节点分别存储小于 17，17~35，和大于 35 的 key
- 每个节点可能存储 2~4 个 key（因为 m=5）
四、B+ 树的改进：为范围查找和磁盘友好优化
🟩 B+ 树对 B 树的改进：
| 结构方面 | B 树 | B+ 树 |
| 叶子节点 | 含数据（部分） | 全部数据只在叶子节点中 |
| 非叶子节点 | 存储 key 和数据指针 | 只存储 key，不存数据 |
| 有序遍历 | 需要中序递归 | 叶子节点链式连接，遍历更快 |
| 查询性能 | 较差（中途返回数据） | 一致性强（固定深度，访问叶子） |
📌 B+ 树的叶子节点链式结构：
[5 8] → [12 17] → [20 22] → [40 60]这使得范围查找和分页查询变得非常高效（几乎是数据库的必备功能）
五、磁盘存储与页结构分析
在现代数据库系统或操作系统中，磁盘按页管理：
| 结构项 | 描述 |
| 页大小 | 通常是 4KB（4096 字节） |
| 数据对齐 | 每个数据结构要对齐页 |
| B+ 树节点设计 | 通常设计为一个节点=一个页 |
✅ 举例：每页可容纳 100 个 key
- 假设每个 key 为 16 字节，一个页可容纳约 256 个 key
- 树高 log₁₀₀(n)，即百万级数据仅需树高为 3~4 层，磁盘访问次数显著降低
六、应用场景：B 树 vs B+ 树
| 场景 | 推荐结构 | 原因 |
| 操作系统文件索引 | B+ 树 | 范围查找+分页遍历更强 |
| 数据库索引结构（如 MySQL） | B+ 树 | 结构化磁盘页管理 |
| 小型内存数据结构 | B 树或红黑树 | 不涉及磁盘，可用 B 树/红黑树 |
七、C++ 实现 B 树（简单示例）
以下是一个简化的 B 树实现（m=3）：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>const int DEGREE = 3; // m 阶 B 树，最多 2*DEGREE - 1 个 keyclass BTreeNode {
public:
bool isLeaf;
std::vector<int> keys;
std::vector<BTreeNode*> children;BTreeNode(bool leaf) : isLeaf(leaf) {}void traverse() {for (size_t i = 0; i < keys.size(); ++i) {if (!isLeaf) children[i]->traverse();std::cout << keys[i] << " ";}if (!isLeaf) children[keys.size()]->traverse();
}BTreeNode* search(int key) {int i = 0;while (i < keys.size() && key > keys[i]) ++i;if (i < keys.size() && key == keys[i]) return this;if (isLeaf) return nullptr;return children[i]->search(key);
}
};class BTree {
BTreeNode* root;public:
BTree() : root(nullptr) {}void traverse() {if (root != nullptr) root->traverse();
}BTreeNode* search(int key) {return (root == nullptr) ? nullptr : root->search(key);
}// 插入逻辑略复杂，建议下一节手动实现
};这里只写了查找和遍历，完整的插入+分裂逻辑我们将在下一节详细展开并实现
八、为什么数据库都用 B+ 树？
✅ 多数数据库索引（如 MySQL 的 InnoDB）使用 B+ 树
原因：
- 查询访问路径统一（所有数据都在叶子）
- 更适合范围查询、分页、排序
- 叶子节点可顺序扫描（链表形式）
- 非叶子节点只做路由，不带实际数据，结构更清晰
- 每个节点可以装满一个页，减少 I/O 次数
九、本节小结
| 重点点 | 内容 |
| B 树特点 | 多路查找、节点包含多个 key、结构平衡 |
| B+ 树优化 | 所有数据都在叶子节点、非叶子仅做索引、叶子链式连接 |
| 工程优势 | 高度低、减少磁盘 I/O、结构清晰、页对齐优化 |
| 应用 | 文件系统索引、数据库索引、范围查找、高效分页遍历 |
📘 拓展阅读
- 《Database System Concepts》（Silberschatz）
- MySQL InnoDB B+ 树索引结构源码
- Linux VFS inode hash vs B+ lookup tree