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杨辉三角

杨辉三角是一种由数字排列成的三角形数表，其核心规律为：每一行两端的数字为 1，中间的每个数字等于其上方两数之和。例如，前 5 行如下：

        11 11  2  11  3  3  11  4  6  4  1

一、历史与数学意义

1. 起源：杨辉三角最早由北宋数学家贾宪（约 1050 年）提出，后由南宋数学家杨辉在 1261 年的《详解九章算法》中记载并推广，比欧洲的 “帕斯卡三角” 早约 600 年。
2. 数学本质：每一行的数字对应二项式展开式的系数。例如，((a+b)^n)的展开式系数恰好是杨辉三角的第(n+1)行。 例如： (a+b)3=a3+3a2b+3a**b2+b3 对应第4行：1 3 3 1
3. 组合数关联：第n行第k个数（从 0 开始计数）等于组合数(C(n, k))，即从n个元素中选k个的方式数。

二、核心性质

1. 对称性：每一行的数字左右对称，即(C(n, k) = C(n, n-k))。
2. 行和规律：第n行所有数字之和为(2^n)。例如，第 3 行和为(1+2+1=4=2^2)。
3. 质数特性：若某行（除两端的 1 外）所有数字都能被行数整除，则该行数必为质数。例如，第 5 行（1 4 6 4 1）的数字均能被 5 整除，而 5 是质数。
4. 斐波那契数列：按特定斜线相加可得到斐波那契数列。例如，第 0 斜线（全 1）和为 1，第 1 斜线（1,1）和为 2，第 2 斜线（1,2）和为 3，依此类推。

三、C 语言实现方法

1. 二维数组法（基础实现）

#include <stdio.h>void printYangHui(int rows) {int arr[rows][rows];for (int i = 0; i < rows; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {if (j == 0 || j == i)arr[i][j] = 1; // 两端为1elsearr[i][j] = arr[i-1][j-1] + arr[i-1][j]; // 中间数为上方两数之和}}// 打印时添加空格对齐for (int i = 0; i < rows; i++) {for (int k = 0; k < rows - i - 1; k++)printf("  "); // 控制缩进for (int j = 0; j <= i; j++)printf("%4d", arr[i][j]); // 每个数字占4个字符宽度printf("\n");}
}int main() {int rows;printf("输入行数：");scanf("%d", &rows);printYangHui(rows);return 0;
}

输出示例（输入 5）：

         11   11   2   11   3   3   11   4   6    4    1

2. 一维数组优化（节省内存）

#include <stdio.h>void printYangHui(int rows) {int prev[rows], curr[rows];for (int i = 0; i < rows; i++) {curr[0] = curr[i] = 1; // 每行两端为1// 计算中间数（仅需上一行的数据）for (int j = 1; j < i; j++)curr[j] = prev[j-1] + prev[j];// 打印当前行for (int k = 0; k < rows - i - 1; k++)printf("  ");for (int j = 0; j <= i; j++)printf("%4d", curr[j]);printf("\n");// 保存当前行供下一行使用for (int j = 0; j <= i; j++)prev[j] = curr[j];}
}int main() {int rows;printf("输入行数：");scanf("%d", &rows);printYangHui(rows);return 0;
}

优点：仅需两个一维数组，空间复杂度从(O(n^2))降为(O(n))。

3. 动态内存分配（支持大行数）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>void printYangHui(int rows) {int **arr = (int **)malloc(rows * sizeof(int *));for (int i = 0; i < rows; i++) {arr[i] = (int *)malloc((i+1) * sizeof(int));arr[i][0] = arr[i][i] = 1;for (int j = 1; j < i; j++)arr[i][j] = arr[i-1][j-1] + arr[i-1][j];}// 打印for (int i = 0; i < rows; i++) {for (int k = 0; k < rows - i - 1; k++)printf("  ");for (int j = 0; j <= i; j++)printf("%4d", arr[i][j]);printf("\n");free(arr[i]); // 释放每行内存}free(arr); // 释放二维数组内存
}int main() {int rows;printf("输入行数：");scanf("%d", &rows);printYangHui(rows);return 0;
}

注意：需手动释放内存以避免内存泄漏。

四、常见问题与优化

1. 整数溢出：当行数超过 20 时，组合数可能超过int范围。可改用long long或动态计算组合数（避免阶乘直接计算）。
2. 打印对齐：若数字位数不一致（如 1000），需动态计算最大数字的位数，调整空格数。
3. 数组初始化：局部数组未初始化可能包含垃圾值，需显式初始化（如int arr[N] = {1};）。

五、扩展应用

1. 组合数计算：直接通过杨辉三角获取(C(n, k))。
2. 动态规划：如路径计数问题，可利用杨辉三角的递推思想。
3. 数论研究：探索质数、斐波那契数列等隐藏规律。