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并查集就支持两个操作
- 将两个集合合并
- 询问两个元素是否在一个集合中
并查集可以在接近o1的时间内，完成这两个操作
别忘了，集合中的元素是不重复的，一般情况下，考察并查集的所有元素也不重复
并查集的结构
并查集是一种树形结构
每个节点存储自己的父节点，例如
f[1]=1,f[2]=1,f[3]=1,f[4]=3,f[5]=3,f[6]=4
并查集初始化
在最初，每个元素都是自己独立一个集合，所以并查集初始化如下
for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;并查集查找操作
int find(int x){if(f[x]==x)return x;//找到根节点了，因为他指向自己return find(f[x]);//不是根节点，继续向上找
}举例，红色是找过去，绿色是把返回值返回回来
并查集查找优化
并查集既然是只需要支持查找集合，合并集合的操作
那我们可以尽量让这个数变宽，变浅，让子节点在尽量短的路径里，找到根节点
那我们在查找时，就可以更改其他子节点，让所有子节点，直接指向根节点
这样下次再查找时，现有子节点，即可一步（o1)找到根节点
int find(int x){if(f[x]==x)return x;return f[x]=find(f[x]);//只增加一步操作，将此次查找经过的子节点，其父节点直接指向根节点
}如下图
并查集合并集合
要记住，f[i]里的i，才是集合里的元素的值，而f[i]的值，是其父节点的值
合并集合，就是把集合A的根节点i，对应的f[i]的值
变成集合B的根节点i的值
代码，将x集合合并到y（x指向y)
void unionset(int x,int y){//先用查找函数，找到根节点，然后把根节点f[i]指向的值，从他本身，变为find(y)的集合的根节点的值f[find(x)]=find(y);
}
典型例题以及完整代码实现
AcWing - 算法基础课
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100100;
int f[N];
//查找
int find(int x){if(f[x]==x)return x;return f[x]=find(f[x]);
}
//合并
void on(int x,int y){f[find(x)]=find(y);return;
}
int main(){int n,m;cin>>n>>m;//初始化for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;while(m--){char c;int a,b;cin>>c>>a>>b;if(c=='M'){on(a,b);}else{cout<<(find(a)==find(b)?"Yes":"No")<<endl;}}return 0;
}连通块中点的数量，经典例题
AcWing - 算法基础课
此题和并查集样题区别是
多了一个查询操作：查询任意一节点所在连通块的数量
连通块查询思路
我们要做的就是，新建一个fs数组，假如根节点是i，则fs[i]存储的就是根节点所在连通块的节点数量
每个连通块的根节点对应一个fs[i]数组,fs[i]的值是该连通块的节点数量
连通块计算思路
一开始，所有fs[i]=1;因为所有节点都是独立的
在每次合并时，例如x所在连通块合并到y所在连通块
我们将x的根节点指向的该连通块所有节点的数量，加在y的根节点指向所有节点数量上
这样便增加fs[i]根节点的值
void on(int x,int y){//合并两个连通块（集合）时，先把连通块对应的值计算,因为合并连通块后，对应的fs的值也变了//因为该节点的根节点i，f[i]才是该连通块所有节点的数量//一定是y累加x的值，因为下面最后一行，是将y的连通块的根节点作为合并后的根节点fs[find(y)]+=fs[find(x)]; f[find(x)]=find(y);
}完成代码实现
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
#define ll long long
int f[N],fs[N];//fs[i]的值代表i节点作为根节点，共有多少连通块
int find(int x){if(f[x]==x)return x;return f[x]=find(f[x]);
}
void on(int x,int y){//合并两个连通块（集合）时，先把连通块对应的值计算,因为合并连通块后，对应的fs的值也变了//因为该节点的根节点i，f[i]才是该连通块所有节点的数量//一定是y累加x的值，因为下面最后一行，是将y的连通块的根节点作为合并后的根节点fs[find(y)]+=fs[find(x)]; f[find(x)]=find(y);
}
int main(){int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=i;fs[i]=1;//所有节点，一开始节点所在的连通块只有自己本身}while(m--){string c;int a,b;cin>>c;if(c=="C"){cin>>a>>b;//同一个节点不用合并，避免多合并，造成根节点对应的数组的值增大if (find(a) == find(b)) continue;on(a,b);}else if(c=="Q1"){cin>>a>>b;cout<<(find(a)==find(b)?"Yes":"No")<<endl;}else{cin>>a;//输出时，也是该连通块根节点的fs[i]代表连通块数量//别忘了先查询，再输出cout<<fs[find(a)]<<endl;}}return 0;
}