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Circular_kernel_2 是 CGAL (Computational Geometry Algorithms Library) 中的一个二维圆形几何内核，它扩展了基本的内核功能，支持对圆弧和圆的操作。下面我将介绍如何使用这个内核。

基本概念

Circular_kernel_2 结合了线性几何（线段、直线等）和圆形几何（圆、圆弧等）的功能。它需要两个模板参数：

1. 一个线性内核（如 Exact_predicates_exact_constructions_kernel）
2. 一个代数内核（如 Algebraic_kernel_for_circles）

常用类型定义

#include <CGAL/Exact_predicates_exact_constructions_kernel.h>
#include <CGAL/Circular_kernel_2.h>
#include <CGAL/Algebraic_kernel_for_circles_2_2.h>// 定义线性内核
typedef CGAL::Exact_predicates_exact_constructions_kernel Linear_k;// 定义代数内核
typedef CGAL::Algebraic_kernel_for_circles_2_2<Linear_k::FT> Algebraic_k;// 定义圆形内核
typedef CGAL::Circular_kernel_2<Linear_k, Algebraic_k> Circular_k;// 常用类型简写
typedef Circular_k::Point_2 Point_2;
typedef Circular_k::Circle_2 Circle_2;
typedef Circular_k::Line_2 Line_2;
typedef Circular_k::Circular_arc_2 Circular_arc_2;

基本操作示例

1. 创建点和圆

Point_2 p1(1, 0);
Point_2 p2(0, 1);
Point_2 p3(-1, 0);// 通过三个点创建圆
Circle_2 circle(p1, p2, p3);// 通过圆心和半径创建圆
Point_2 center(0, 0);
Circle_2 circle2(center, 4); // 半径为4的圆

2. 创建圆弧

// 通过三个点创建圆弧（从p1经p2到p3）
Circular_arc_2 arc(p1, p2, p3);// 通过圆、起点和终点创建圆弧
Circular_arc_2 arc2(circle, p1, p3);

3. 计算交点

Circle_2 c1(Point_2(0,0), 4); // 圆心(0,0)，半径2
Circle_2 c2(Point_2(2,0), 4); // 圆心(2,0)，半径2std::vector<CGAL::Object> intersections;
CGAL::intersection(c1, c2, std::back_inserter(intersections));for(const auto& obj : intersections) {if(const Point_2* point = CGAL::object_cast<Point_2>(&obj)) {// 处理点交点} else if(const Circular_arc_2* arc = CGAL::object_cast<Circular_arc_2>(&obj)) {// 处理圆弧交点}
}

4. 判断点与圆的关系

Point_2 test_point(1, 1);
CGAL::Bounded_side side = circle.bounded_side(test_point);if(side == CGAL::ON_BOUNDED_SIDE) {// 点在圆内
} else if(side == CGAL::ON_BOUNDARY) {// 点在圆上
} else {// 点在圆外
}

高级应用

圆弧多段线

#include <CGAL/Circular_arc_point_2.h>
#include <CGAL/Circular_arc_2.h>
#include <vector>std::vector<Circular_arc_2> arcs;
arcs.push_back(Circular_arc_2(p1, p2, p3));
arcs.push_back(Circular_arc_2(p3, Point_2(0,-1), p1));// 可以对这些圆弧进行各种操作

精确计算

Circular_kernel_2 支持精确计算，这对于处理圆和圆弧的几何问题非常重要：

// 精确计算两个圆的交点
Circle_2 c3(Point_2(0,0), 1);
Line_2 line(Point_2(-1,-1), Point_2(1,1));std::vector<CGAL::Object> line_circle_ints;
CGAL::intersection(c3, line, std::back_inserter(line_circle_ints));// 结果将是精确的，即使交点的坐标是无理数

注意事项

1. Circular_kernel_2 的计算通常比线性内核更耗时，因为它需要处理更复杂的代数运算
2. 对于纯线性几何问题，使用基本内核可能更高效
3. 圆形内核支持精确构造和谓词，这对于稳健的几何算法非常重要

完整示例

#include <iostream>
#include <CGAL/Exact_predicates_exact_constructions_kernel.h>
#include <CGAL/Circular_kernel_2.h>
#include <CGAL/Algebraic_kernel_for_circles_2_2.h>typedef CGAL::Exact_predicates_exact_constructions_kernel Linear_k;
typedef CGAL::Algebraic_kernel_for_circles_2_2<Linear_k::FT> Algebraic_k;
typedef CGAL::Circular_kernel_2<Linear_k, Algebraic_k> Circular_k;typedef Circular_k::Point_2 Point_2;
typedef Circular_k::Circle_2 Circle_2;
typedef Circular_k::Circular_arc_2 Circular_arc_2;int main() {// 创建三个点Point_2 p1(1, 0);Point_2 p2(0, 1);Point_2 p3(-1, 0);// 创建圆和圆弧Circle_2 circle(p1, p2, p3);Circular_arc_2 arc(p1, p2, p3);// 创建另一个圆Circle_2 circle2(Point_2(2,0), 1);// 计算交点std::vector<CGAL::Object> intersections;CGAL::intersection(circle, circle2, std::back_inserter(intersections));std::cout << "Intersections found: " << intersections.size() << std::endl;return 0;
}

Circular_kernel_2 提供了强大的功能来处理涉及圆和圆弧的二维几何问题，是CGAL中处理圆形几何的重要工具。